Вариационный ряд - это статистический ряд, показывающий распределение изучаемого явления по величине какого-либо количественного признака. Например, больных по возрасту, по срокам лечения, новорожденных по весу и т.п.
Варианта - отдельные значения признака, по которому проводится группировка (обозначается V ) .
Частота- число, показывающее, как часто встречается та или иная варианта (обозначается P ) . Сумма всех частот показывает общее число наблюдений и обозначается n . Разность между наибольшей и наименьшей вариантой вариационного ряда называется размахом или амплитудой .
Различают вариационные ряды:
1. Прерывные (дискретные) и непрерывные.
Ряд считается непрерывным, если группировочный признак может выражаться дробными величинами (вес, рост т.п.), прерывным, если группировочный признак выражается только целым числом (дни нетрудоспособности, число ударов пульса и т.п.).
2.Простые и взвешенные.
Простой вариационный ряд представляет собой ряд, в котором количественное значение варьирующего признака встречается один раз. Во взвешенном вариационном ряду количественные значения варьирующего признака повторяются с определённой частотой.
3. Сгруппированные (интервальные) и несгруппированые.
Сгруппированный ряд имеет варианты, объединённые в группы, объединяющие их по величине в пределах определённого интервала. В несгруппированном ряду каждой отдельной варианте соответствует определённая частота.
4. Четные и нечетные.
В чётных вариационных рядах сумма частот или общее число наблюдений выражено чётным числом, в нечётных ― нечётным.
5. Симметричные и асимметричные.
В симметричном вариационном ряду все виды средних величин совпадают или очень близки (мода, медиана, среднее арифметическое).
В зависимости от характера изучаемых явлений, от конкретных задач и целей статистического исследования, а также от содержания исходного материала, в санитарной статистике применяются следующие виды средних величин:
структурные средние (мода, медиана);
средняя арифметическая;
средняя гармоническая;
средняя геометрическая;
средняя прогрессивная.
Мода (М о ) - величина варьирующего признака, которая более часто встречается в изучаемой совокупности т.е. варианта, соответствующая наибольшей частоте. Находят ее непосредственно по структуре вариационного ряда, не прибегая к каким-либо вычислениям. Она обычно является величиной очень близкой к средней арифметической и весьма удобна в практической деятельности.
Медиана (М е ) - делящая вариационный ряд (ранжированный, т.е. значения вариант располагаются в порядке возрастания или убывания) на две равные половины. Медиана вычисляется при помощи так называемого нечетного ряда, который получают путем последовательного суммирования частот. Если сумма частот соответствует четному числу, тогда за медиану условно принимают среднюю арифметическую из двух средних значений.
Мода и медиана применяются в случае незамкнутой совокупности, т.е. когда наибольшая или наименьшая варианты не имеют точной количественной характеристики (например, до 15 лет, 50 и старше и т.п.). В этом случае среднюю арифметическую (параметрические характеристики) рассчитать нельзя.
Средня я арифметическая - самая распространенная величина. Средняя арифметическая обозначается чаще через М .
Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную.
Средняя арифметическая простая вычисляется:
― в тех случаях, когда совокупность представлена простым перечнем знаний признака у каждой единицы;
― если число повторений каждой варианты нет возможности определить;
― если числа повторений каждой варианты близки между собой.
Средняя арифметическая простая исчисляется по формуле:
где V - индивидуальные
значения признака; n
- число индивидуальных значений; 
- знак суммирования.
Таким образом, простая средняя представляет собой отношение суммы вариант к числу наблюдений.
Пример: определить среднюю длительность пребывания на койке 10 больных пневмонией:
16 дней - 1 больной; 17–1; 18–1; 19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.
койко-дня.
Средняя арифметическая взвешенная исчисляется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака повторяются. Ее можно вычислять двояким способом:
1. Непосредственным (среднеарифметическим или прямым способом) по формуле:
,
где P - частота (число случаев) наблюдений каждой варианты.
Таким образом, средняя арифметическая взвешенная представляет собой отношение суммы произведений вариант на частоты к числу наблюдений.
2. С помощью вычисления отклонений от условной средней (по способу моментов).
Основой для вычисления взвешенной средней арифметической является:
― сгруппированный материал по вариантам количественного признака;
― все варианты должны располагаться в порядке возрастания или убывания величины признака (ранжированный ряд).
Для вычисления по способу моментов обязательным условием является одинаковый размер всех интервалов.
По способу моментов средняя арифметическая вычисляется по формуле:
,
где М о - условная средняя, за которую чаще принимают величину признака, соответствующую наибольшей частоте, т.е. которая чаще повторяется (Мода).
i - величина интервала.
a - условное отклонение от условий средней, представляющее собой последовательный ряд чисел (1, 2 и т.д.) со знаком + для вариант больших условной средней и со знаком–(–1, –2 и т.д.) для вариант, которые ниже условной средней. Условное же отклонение от варианты, принятой за условную среднюю равно 0.
P - частоты.
- общее число наблюдений или n.
Пример: определить средний рост мальчиков 8 лет непосредственным способом (таблица1).
Т а б л и ц а 1
|
Рост в см |
мальчиков P |
Центральная варианта V | |
Центральная варианта ― середина интервала ― определяется как полу сумма начальных значений двух соседних групп:
; 
и т.д.
Произведение VP
получают путем умножения центральных
вариант на частоты
;
и т.д. Затем полученные произведения
складывают и получают
,
которую делят на число наблюдений (100)
и получают среднюю арифметическую
взвешенную.
см.
Эту же задачу решим по способу моментов, для чего составляется следующая таблица 2:
Т а б л и ц а 2
|
Рост в см (V) |
мальчиков P | ||
n=100 
В
качестве М о
принимаем 122, т.к. из 100 наблюдений у 33
человек рост был 122см. Находим условные
отклонения (a) от условной средней в
соответствии с вышесказанным. Затем
получаем произведение условных отклонений
на частоты (aP) и суммируем полученные
величины (
).
В итоге получится 17. Наконец, данные
подставляем в формулу:
При изучении варьирующего признака нельзя ограничиваться только вычислением средних величин. Необходимо вычислять и показатели, характеризующие степень разнообразия изучаемых признаков. Величина того или иного количественного признака неодинакова у всех единиц статистической совокупности.
Характеристикой
вариационного ряда является среднее
квадратичное отклонение (
),
которое показывает разброс (рассеивание)
изучаемых признаков относительно
средней арифметической, т.е. характеризует
колеблемость вариационного ряда. Оно
может определяться непосредственным
способом по формуле:
Среднее квадратичное
отклонение равняется квадратному корню
из суммы
произведений квадратов отклонений
каждой варианты от средней арифметической
(V–M) 2
на свои частоты деленной на сумму частот
(
).
Пример вычисления: определить среднее число больничных листов, выдаваемых в поликлинике за день (таблица 3).
Т а б л и ц а 3
|
Число больничных листов, выданных врачом за день (V) |
Число врачей (Р) | ||||
; 
В знаменателе при
числе наблюдений менее 30 необходимо от
отнимать единицу.
Если ряд сгруппирован с равными интервалами, тогда можно определить среднее квадратичное отклонение по способу моментов:
,
где i - величина интервала;
- условное отклонение от условной
средней;
P - частоты вариант соответствующих интервалов;
- общее число наблюдений.
Пример вычисления : Определить среднюю длительность пребывания больных на терапевтической койке (по способу моментов) (таблица 4):
Т а б л и ц а 4
|
Число дней пребывания на койке (V) |
больных (Р) |
|
|
|
;
Бельгийский
статистик А. Кетле обнаружил, что вариации
массовых явлений подчиняются закону
распределения ошибок, открытому почти
одновременно К. Гауссом и П. Лапласом.
Кривая, отображающая это распределение,
имеет вид колокола. По нормальному
закону распределения колеблемость
индивидуальных значений признака
находится в пределах
,
что охватывает 99,73% всех единиц
совокупности.
Подсчитано, что
если к средней арифметической прибавить
и отнять 2
,
то в пределах полученных величин
находится 95,45% всех членов вариационного
ряда и, наконец, если к средней
арифметической прибавить и отнять 1
,
то в пределах полученных величин будут
находиться 68,27% всех членов данного
вариационного ряда. В медицине с величиной
1
связано понятие нормы. Отклонение от
средней арифметической больше, чем на
1
,
но меньше, чем на 2
является субнормальным, а отклонение
больше, чем на 2
ненормальным (выше или ниже нормы).
В санитарной статистике правило трех сигм применяется при изучении физического развития, оценке деятельности учреждений здравоохранения, оценке здоровья населения. Это же правило широко применяется в народном хозяйстве при определении стандартов.
Таким образом, среднее квадратичное отклонение служит для:
― измерения дисперсии вариационного ряда;
― характеристики степени разнообразия признаков, которые определяются коэффициентом вариации:
Если коэффициент вариации более 20% - сильное разнообразие, от 20 до 10% - среднее, менее 10% - слабое разнообразие признаков. Коэффициент вариации в известной мере является критерием надежности средней арифметической.
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Вариационный ряд |
| Рубрика (тематическая категория) | Производство |
Наблюдаемые значения случайной величины х 1 , х 2 , …, х k называются вариантами .
Частотой варианты х i принято называть число n i (i =1,…,k ), показывающее, сколько раз эта варианта встречается в выборке.
Частостью (относительной частотой, долей) варианты х i (i =1,…,k ) принято называть отношение ее частоты n i к объёму выборки n .
Частоты и частости называютвесами .
Накопленной частотой принято называть количество вариант, значения которых меньше данного х :
Накопленной частостью принято называть отношение накопленной частоты к объёму выборки:
Вариационным рядом (статистическим рядом) – принято называть последовательность вариант, записанных в порядке возрастания и соответствующих им весов.
Вариационный ряд должна быть дискретным (выборка значений дискретной случайной величины) и непрерывным (интервальным) (выборка значений непрерывной случайной величины).
Дискретный вариационный ряд имеет вид:
| … | ||||
| … |
Когда число вариант велико или признак является непрерывным (случайная величина может принимать любые значения в некотором интервале), составляют интервальный вариационный ряд.
Для построения интервального вариационного ряда проводят группировку вариант – их разбивают на отдельные интервалы:
Число интервалов иногда определяют с помощью формулы Стерджеса :
Затем подсчитывается число вариант, попавших в каждый интервал – частоты n i (или частости n i /n ). В случае если варианта находится на границе интервала, то ее присоединяют к правому интервалу.
Интервальный вариационный ряд имеет вид :
| Варианты | … | |||
| Частоты | … |
Эмпирической (статистической) функцией распределения принято называть функция, значение которой в точке х равно относительной частоте того, что варианта примет значение, меньшее х (накопительной частости для х ):
Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки с координатами (х 1 ; n 1), (х 2 ; n 2), …, (х k ; n k ). Аналогично строится полигон частостей , который является статистическим аналогом многоугольника распределений.
Стоит сказать, что для непрерывного вариационного ряда полигон можно построить, в случае если в качестве значений х 1 , х 2 , …, х k взять середины интервалов.
Интервальный вариационный ряд графически обычно изображают с помощью гистограммы .
Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы длины h = x i +1 – x i , i = 0,…,k -1, а высоты равны частотам (или частостям) интервалов n i (w i ).
Кумулята (кумулятивная кривая) – кривая накопленных частот (частостей). Для дискретного ряда кумулята представляет ломанную, соединяющую точки или , . Для интервального ряда кумулята начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте (частости), равной нулю. Другие точки этой ломанной соответствуют концам интервалов.
Вариационный ряд - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Вариационный ряд" 2017, 2018.
Распределение розничного товарооборота Российской Федерации в 1995 году по формам собственности, млн. руб. Виды рядов распределения Лекция VIII. Ряды распределения В результате обработки и систематизации первичных статистических данных получают... .
Простейшее преобразование статистических данных является их упорядочивание по величине. Выборка объёма из генеральной совокупности, упорядоченная в порядке неубывания элементов, т.е. , называется вариационным рядом: . В том случае, когда объем наблюдений... .
1. По заданной выборке, соответствующей варианту задания построить интервальный вариационный ряд; построить гистограмму и кумуляту (используйте два способа: вставку диаграммы Excel и режим «Гистограмма» пакета «Анализ данных»). 2. Проанализировать полученную гистограмму. ... .
Популяция - структурная единица вида. Численность популяций. Причины колебания численности популяций. Взаимоотношения особей в популяциях и между различными популяциями одного и разных видов. 1. Важный признак вида - расселение его группами, популяциями в...
В результате освоения дайной главы студент должен: знать
- показатели вариации и их взаимосвязь;
- основные законы распределения признаков;
- сущность критериев согласия; уметь
- рассчитывать показатели вариации и критерии согласия;
- определять характеристики распределений;
- оценивать основные числовые характеристики статистических рядов распределения;
владеть
- методами статистического анализа рядов распределения;
- основами дисперсионного анализа;
- приемами проверки статистических рядов распределения на соответствие основным законам распределения.
Показатели вариации
При статистическом исследовании признаков различных статистических совокупностей большой интерес представляет изучение вариации признака отдельных статистических единиц совокупности, а также характера распределения единиц по данному признаку. Вариация - это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение. По степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов, определяющих вариацию. Показатели вариации используются для характеристики и упорядочения статистических совокупностей.
Результаты сводки и группировки материалов статистического наблюдения, оформленные в виде статистических рядов распределения, представляют собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному (варьирующему) признаку. Если за основу группировки взят качественный признак, то такой ряд распределения называют атрибутивным (распределение по профессии, по полу, по цвету и т.д.). Если ряд распределения построен по количественному признаку, то такой ряд называют вариационным (распределение по росту, весу, по размеру заработной платы и т.д.). Построить вариационный ряд - значит упорядочить количественное распределение единиц совокупности по значениям признака, подсчитать число единиц совокупности с этими значениями (частоту), результаты оформить в таблицу.
Вместо частоты варианта возможно применение ее отношения к общему объему наблюдений, которое называется частостью (относительной частотой).
Выделяют два вида вариационного ряда: дискретный и интервальный. Дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением (дискретные признаки). К последним можно отнести число работников на предприятии, тарифный разряд, количество детей в семье и т.д. Дискретный вариационный ряд представляет таблицу, которая состоит из двух граф. В первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число единиц совокупности с определенным значением признака. Если признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака возможно построение интервального вариационного ряда. Таблица при построении интервального вариационного ряда также имеет две графы. В первой указывается значение признака в интервале «от - до» (варианты), во второй - число единиц, входящих в интервал (частота). Частота (частота повторения) - число повторений отдельного варианта значений признака. Интервалы могут быть закрытые и открытые. Закрытые интервалы ограничены с обеих сторон, т.е. имеют границу как нижнюю («от»), так и верхнюю («до»). Открытые интервалы имеют какую-либо одну границу: либо верхнюю, либо нижнюю. Если варианты расположены по возрастанию или убыванию, то ряды называются ранжированными.
Для вариационных рядов существует два типа вариантов частотных характеристик: накопленная частота и накопленная частость. Накопленная частота показывает, в скольких наблюдениях величина признака приняла значения меньше заданного. Накопленная частота определяется путем суммирования значений частоты признака по данной группе со всеми частотами предшествующих групп. Накопленная частость характеризует удельный вес единиц наблюдения, у которых значения признака не превосходят верхнюю границу дайной группы. Таким образом, накопленная частость показывает удельный вес вариант в совокупности, имеющих значение не больше данного. Частота, частость, абсолютная и относительная плотности, накопленные частота и частость являются характеристиками величины варианта.
Вариации признака статистических единиц совокупности, а также характер распределения изучаются с помощью показателей и характеристик вариационного ряда, к числу которых относятся средний уровень ряда, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия, коэффициенты осцилляции, вариации, асимметрии, эксцесса и др.
Для характеристики центра распределения применяются средние величины. Средняя представляет собой обобщающую статистическую характеристику, в которой получает количественное выражение типичный уровень признака, которым обладают члены изучаемой совокупности. Однако возможны случаи совпадения средних арифметических при разном характере распределения, поэтому в качестве статистических характеристик вариационных рядов рассчитываются так называемые структурные средние - мода, медиана, а также квантили, которые делят ряд распределения на равные части (квартили, децили, перцентили и т.д.).
Мода - это значение признака, которое встречается в ряду распределения чаще, чем другие его значения. Для дискретных рядов - это варианта, имеющая наибольшую частоту. В интервальных вариационных рядах с целью определения моды необходимо определить прежде всего интервал, в котором она находится, так называемый модальный интервал. В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами - но наибольшей плотности распределения. Затем для определения моды в рядах с равными интервалами применяют формулу
где Мо - значение моды; х Мо - нижняя граница модального интервала; h - ширина модального интервала; / Мо - частота модального интервала; / Mo j - частота домодального интер- вала; / Мо+1 - частота послемодального интервала, а для ряда с неравными интервалами в данной формуле расчета вместо частот / Мо, / Мо, / Мо следует использовать плотности распределения Ум 0 _| , Ум 0> УМо+"
Если имеется единственная мода, то распределение вероятностей случайной величины называется унимодальным; если имеется более чем одна мода, оно называется многомодальным (полимодальным, мультимодальным), в случае двух мод - бимодальным. Как правило, многомодальность указывает, что исследуемое распределение не подчиняется закону нормального распределения. Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует также о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.
В интервальном вариационном ряду моду можно определить графически с помощью гистограммы. Для этого из верхних точек самого высокого столбца гистограммы до верхних точек двух смежных столбцов проводят две пересекающиеся линии. Затем из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее перпендикуляру, является модой. Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщенного показателя отдается предпочтение моде, а не средней арифметической.
Медиана - это центральное значение признака, им обладает центральный член ранжированного ряда распределения. В дискретных рядах, чтобы найти значение медианы, сначала определяется ее порядковый номер. Для этого при нечетном числе единиц к сумме всех частот прибавляется единица, число делится на два. При четном числе единиц в ряду будет две медианные единицы, поэтому в этом случае медиана определяется как средняя из значений двух медианных единиц. Таким образом, медианой в дискретном вариационном ряду является значение, которое делит ряд на две части, содержащие одинаковое число вариантов.
В интервальных рядах после определения порядкового номера медианы отыскивается медиальный интервал по накопленным частотам (частостям), а затем при помощи формулы расчета медианы определяется значение самой медианы:
где Me - значение медианы; х Ме - нижняя граница медианного интервала; h - ширина медианного интервала; - сумма частот ряда распределения; /Д - накопленная частота домедианного интервала; / Ме - частота медианного интервала.
Медиану можно отыскать графически с помощью куму- ляты. Для этого на шкале накопленных частот (частостей) кумуляты из точки, соответствующей порядковому номеру медианы, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Далее из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее проведенной ординате (перпендикуляру), является медианой.
Медиана характеризуется следующими свойствами.
- 1. Она не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее.
- 2. Она имеет свойство минимальности, которое заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением значений признака от любой другой величины.
- 3. При объединении двух распределений с известными медианами невозможно заранее предсказать величину медианы нового распределения.
Эти свойства медианы широко используются при проектировании расположения пунктов массового обслуживания - школ, поликлиник, автозаправочных станций, водозаборных колонок и т.д. Например, если в определенном квартале города предполагается построить поликлинику, то расположить ее целесообразнее в такой точке квартала, которая делит пополам не длину квартала, а число жителей.
Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить симметричность распределения. Если х Me то имеет место правосторонняя асимметрия ряда. При нормальном распределении х - Me - Мо.
К. Пирсон на основе выравнивания различных типов кривых определил, что для умеренно асимметричных распределений справедливы такие приближенные соотношения между средней арифметической, медианой и модой:
где Me - значение медианы; Мо - значение моды; х арифм - значение средней арифметической.
Если возникает необходимость изучить структуру вариационного ряда более подробно, то вычисляют значения признака, аналогичные медиане. Такие значения признака делят все единицы распределения на равные численности, их называют квантилями или градиентами. Квантили подразделяются на квартили, децили, перцентили и т.п.
Квартили делят совокупность на четыре равные части. Первую квартиль вычисляют аналогично медиане по формуле расчета первой квартили, предварительно определив первый квартальный интервал:
где Qi - значение первой квартили; x Q ^ - нижняя граница первого квартильного интервала; h - ширина первого квартального интервала; /, - частоты интервального ряда;
Накопленная частота в интервале, предшествующем первому квартильиому интервалу; Jq { - частота первого квартильного интервала.
Первая квартиль показывает, что 25% единиц совокупности меньше ее значения, а 75% - больше. Вторая квартиль равна медиане, т.е. Q 2 = Me.
По аналогии рассчитывают третью квартиль, предварительно отыскав третий квартальный интервал:
где - нижняя граница третьего квартильного интервала; h - ширина третьего квартильного интервала; /, - частоты интервального ряда; /X" - накопленная частота в интервале, предшествующем
г
третьему квартильиому интервалу; Jq - частота третьего квартильного интервала.
Третья квартиль показывает, что 75% единиц совокупности меньше ее значения, а 25% - больше.
Разность между третьей и первой квартилями представляет собой межквартильный интервал:
где Aq - значение межквартильного интервала; Q 3 - значение третьей квартили; Q, - значение первой квартили.
Децили делят совокупность на 10 равных частей. Дециль - это такое значение признака в ряду распределения, которому соответствуют десятые доли численности совокупности. По аналогии с квартилями первый дециль показывает, что 10% единиц совокупности меньше его значения, а 90% - больше, а девятый дециль выявляет, что 90% единиц совокупности меньше его значения, а 10% - больше. Соотношение девятого и первого децилей, т.е. децильный коэффициент, широко применяется при изучении дифференциации доходов для измерения соотношения уровней доходов 10% наиболее обеспеченного и 10% наименее обеспеченного населения. Перцентили делят ранжированную совокупность на 100 равных частей. Расчет, значение и применение перцентилей аналогичны децилям.
Квартили, децили и другие структурные характеристики можно определить графически по аналогии с медианой с помощью кумуляты.
Для измерения размера вариации используются следующие показатели: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия. Величина размаха вариации целиком зависит от случайности распределения крайних членов ряда. Этот показатель представляет интерес в тех случаях, когда важно знать, какова амплитуда колебаний значений признака:
где R - значение размаха вариации; х тах - максимальное значение признака; х тт - минимальное значение признака.
При расчете размаха вариации значение подавляющего большинства членов ряда не учитывается, в то время как вариация связана с каждым значением члена ряда. Этого недостатка лишены показатели, представляющие собой средние, полученные из отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины: среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение. Между индивидуальными отклонениями от средней и колеблемостью конкретного признака существует прямая зависимость. Чем сильнее колеблемость, тем больше абсолютные размеры отклонений от средней.
Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных величин отклонений отдельных вариантов от их средней величины.
Среднее линейное отклонение для несгруппированных данных
где / пр - значение среднего линейного отклонения; х,- - значение признака; х - п - число единиц совокупности.
Среднее линейное отклонение сгруппированного ряда
где / вз - значение среднего линейного отклонения; х, - значение признака; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности; / - число единиц совокупности в отдельной группе.
Знаки отклонений в данном случае игнорируются, в противном случае сумма всех отклонений будет равна нулю. Среднее линейное отклонение в зависимости от группировки анализируемых данных рассчитывается по различным формулам: для сгруппированных и несгруниированных данных. Среднее линейное отклонение в силу его условности отдельно от других показателей вариации применяется на практике сравнительно редко (в частности, для характеристики выполнения договорных обязательств по равномерности поставки; в анализе оборота внешней торговли, состава работающих, ритмичности производства, качества продукции с учетом технологических особенностей производства и т.п.).
Среднее квадратическое отклонение характеризует, на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения изучаемого признака от среднего значения по совокупности, и выражается в единицах измерения изучаемого признака. Среднее квадратическое отклонение, являясь одной из основных мер вариации, широко используется при оценке границ вариации признака в однородной совокупности, при определении значений ординат кривой нормального распределения, а также в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик. Среднее квадратическое отклонение но несгруипированным данным исчисляется по следующему алгоритму: каждое отклонение от средней возводится в квадрат, все квадраты суммируются, после чего сумма квадратов делится на число членов ряда и из частного извлекается квадратный корень:
где a Iip - значение среднего квадратического отклонения; Xj - значение признака; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности; п - число единиц совокупности.
Для сгруппированных анализируемых данных среднее квадратическое отклонение данных рассчитывается по взвешенной формуле
где - значение среднего квадратического отклонения; Xj - значение признака; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности; f x - число единиц совокупности в отдельной группе.
Выражение под корнем в обоих случаях носит название дисперсии. Таким образом, дисперсия вычисляется как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины. Для невзвешенных (простых) значений признака дисперсия определяется следующим образом:
Для взвешенных значений признака
Существует также специальный упрощенный способ расчета дисперсии: в общем виде
для невзвешенных (простых) значений признака
для взвешенных значений признака
с использованием метода отсчета от условного нуля
где а 2 - значение дисперсии; х,- - значение признака; х - среднее значение признака, h - величина группового интервала, т 1 - веса (А =
Дисперсия имеет самостоятельное выражение в статистике и относится к числу важнейших показателей вариации. Она измеряется в единицах, соответствующих квадрату единиц измерения изучаемого признака.
Дисперсия имеет следующие свойства.
- 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
- 2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину Л не меняет величины дисперсии. Это означает, что средний квадрат отклонений можно вычислить не по заданным значениям признака, а по отклонениям их от какого-то постоянного числа.
- 3. Уменьшение веех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k 2 раз, а среднее квадратическое отклонение - в k раз, т.е. все значения признака можно разделить на какое-то постоянное число (скажем, на величину интервала ряда), исчислить среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на постоянное число.
- 4. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А у в той или иной степени отличающейся от средней арифметической, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической. Средний квадрат отклонений при этом будет больше на вполне определенную величину - на квадрат разности средней и этой условно взятой величины.
Вариация альтернативного признака заключается в наличии или отсутствии изучаемого свойства у единиц совокупности. Количественно вариация альтернативного признака выражается двумя значениями: наличие у единицы изучаемого свойства обозначается единицей (1), а его отсутствие - нулем (0). Долю единиц, обладающих изучаемым свойством, обозначают через Р, а долю единиц, не обладающих этим свойством, - через G. Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным свойством (Р), на долю единиц, данным свойством не обладающих (G). Наибольшая вариация совокупности достигается в случаях, когда часть совокупности, составляющая 50% от всего объема совокупности, обладает признаком, а другая часть совокупности, также равная 50%, не обладает данным признаком, при этом дисперсия достигает максимального значения, равного 0,25, т.е. Р = 0,5, G = 1 - Р = 1 - 0,5 = 0,5 и о 2 = 0,5 0,5 = 0,25. Нижняя граница этого показателя равна нулю, что соответствует ситуации, при которой в совокупности отсутствует вариация. Практическое применение дисперсии альтернативного признака состоит в построении доверительных интервалов при проведении выборочного наблюдения.
Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность и тем более типичной будет средняя величина. В практике статистики часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, интересным является сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для таких сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях. Для осуществления таких сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с разными средними арифметическими используются показатели вариации - коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации и коэффициент вариации, которые показывают меру колебаний крайних значений вокруг средней.
Коэффициент осцилляции :
где V R - значение коэффициента осцилляции; R - значение размаха вариации; х -
Линейный коэффициент вариации".
где Vj - значение линейного коэффициента вариации; I - значение среднего линейного отклонения; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности.
Коэффициент вариации :
где V a - значение коэффициента вариации; а - значение среднего квадратического отклонения; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности.
Коэффициент осцилляции - это процентное отношение размаха вариации к среднему значению изучаемого признака, а линейный коэффициент вариации - это отношение среднего линейного отклонения к среднему значению изучаемого признака, выраженное в процентах. Коэффициент вариации представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к среднему значению изучаемого признака. Как величина относительная, выраженная в процентах, коэффициент вариации применяется для сравнения степени вариации различных признаков. С помощью коэффициента вариации оценивается однородность статистической совокупности. Если коэффициент вариации меньше 33%, то исследуемая совокупность является однородной, а вариация слабой. Если коэффициент вариации больше 33%, то исследуемая совокупность является неоднородной, вариация сильной, а средняя величина - нетипичной и ее нельзя использовать как обобщающий показатель этой совокупности. Кроме того, коэффициенты вариации используются для сравнения колеблемости одного признака в различных совокупностях. Например, для оценки вариации стажа работы работников на двух предприятиях. Чем больше значение коэффициента, тем вариация признака существеннее.
На основе рассчитанных квартилей имеется возможность рассчитать также относительный показатель квартальной вариации по формуле
где Q2 и
Межквартильный размах определяется по формуле
Квартильное отклонение применяется вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений:
Для неравноинтервальпых вариационных рядов рассчитывается также плотность распределения. Она определяется как частное от деления соответствующей частоты или частости на величину интервала. В неравноинтервальных рядах используются абсолютная и относительная плотности распределения. Абсолютная плотность распределения - это частота, приходящаяся на единицу длины интервала. Относительная плотность распределения - частость, приходящаяся на единицу длины интервала.
Все вышеотмеченное справедливо для рядов распределения, закон распределения которых хорошо описывается нормальным законом распределения или близок к нему.
Статистический ряд распределения – это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определённому варьирующему признаку.В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения .
Наличие общего признака является основой для образования статистической совокупности, которая представляет собой результаты описания или измерения общих признаков объектов исследования.
Предметом изучения в статистике являются изменяющиеся (варьирующие) признаки или статистические признаками.
Виды статистических признаков .
Атрибутивными называют ряды распределения
, построенные по качественным признакам. Атрибутивный
– это признак, имеющий наименование, (например профессия: швея, учитель и т.д.).
Ряд распределения принято оформлять в виде таблиц. В табл. 2.8 приведён атрибутивный ряд распределения.
Таблица 2.8 - Распределение видов юридической помощи, оказанной адвокатами гражданам одного из регионов РФ.
Вариационными рядами называют ряды распределения , построенные по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот.
Вариантами считаются отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду.
Частоты – это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, её объём.
Частостями называются частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу. Соответственно сумма частостей равна 1 или 100 %. Вариационный ряд позволяет по фактическим данным оценить форму закона распределения.
В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды
.
Пример дискретного вариационного ряда приведен в табл. 2.9.
Таблица 2.9 - Распределение семей по числу занимаемых комнат в отдельных квартирах в 1989 г. в РФ.
Вариационный ряд
В генеральной совокупности исследуется некоторый количественный признак. Из нее случайным образом извлекается выборка объема n , то есть число элементов выборки равно n . На первом этапе статистической обработки производят ранжирование выборки, т.е. упорядочивание чисел x 1 , x 2 , …, x n по возрастанию. Каждое наблюдаемое значение x i называется вариантой . Частота m i – это число наблюдений значения x i в выборке. Относительная частота (частость) w i – это отношение частоты m i к объему выборкиn : .При изучении вариационного ряда также используют понятия накопленной частоты и накопленной частости. Пусть x некоторое число. Тогда количество вариантов, значения которых меньше x , называется накопленной частотой: для x i
Признак называется дискретно варьируемым, если его отдельные значения (варианты) отличаются друг от друга на некоторую конечную величину (обычно целое число). Вариационный ряд такого признака называется дискретным вариационным рядом.
Таблица 1. Общий вид дискретного вариационного ряда частот
| Значения признака | x i | x 1 | x 2 | … | x n |
| Частоты | m i | m 1 | m 2 | … | m n |
Признак называется непрерывно варьирующим, если его значения отличаются друг от друга на сколь угодно малую величину, т.е. признак может принимать любые значения в некотором интервале. Непрерывный вариационный ряд для такого признака называется интервальным.
Таблица 2. Общий вид интервального вариационного ряда частот
Таблица 3. Графические изображения вариационного ряда
| Ряд | Полигон или гистограмма | Эмпирическая функция распределения | |
| Дискретный |  |  |  |
| Интервальный |  |  |  |
Для графического изображения вариационных рядов наиболее часто используются полигон, гистограмма, кумулятивная кривая и эмпирическая функция распределения.
В табл. 2.3 (Группировка населения России по размеру среднедушевого дохода в апреле 1994г.) представлен интервальный вариационный ряд
.
Удобно ряды распределения анализировать при помощи графического изображения, позволяющего судить и о форме распределения. Наглядное представление о характере изменения частот вариационного ряда дают полигон и гистограмма
.
Полигон используется при изображении дискретных вариационных рядов
.
Изобразим, например графически распределение жилого фонда по типу квартир, (табл. 2.10).
Таблица 2.10 - Распределение жилого фонда городского района по типу квартир (цифры условные).
Рис. Полигон распределения жилого фонда
На оси ординат могут наноситься не только значения частот, но и частостей вариационного ряда.
Гистограмма принимается для изображения интервального вариационного ряда . При построении гистограммы на оси абсцисс откладываются величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах. Высота столбиков в случае равных интервалов должна быть пропорциональна частотам. Гистограмма – график, на котором ряд изображен в виде смежных друг с другом столбиков.
Изобразим графически интервальный ряд распределения, приведённый в табл. 2.11.
Таблица 2.11 - Распределение семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека (цифры условные).
| N п/п | Группы семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека | Число семей с данным размером жилой площади | Накопленное число семей |
| 1 | 3 – 5 | 10 | 10 |
| 2 | 5 – 7 | 20 | 30 |
| 3 | 7 – 9 | 40 | 70 |
| 4 | 9 – 11 | 30 | 100 |
| 5 | 11 – 13 | 15 | 115 |
| ВСЕГО | 115 | ---- | |
Рис. 2.2. Гистограмма распределения семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека
Используя данные накопленного ряда (табл. 2.11), построим кумуляту распределения.
Рис. 2.3. Кумулята распределения семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека
Изображение вариационного ряда в виде кумуляты особенно эффективно для вариационных рядов, частоты которых выражены в долях или процентах к сумме частот ряда.
Если при графическом изображении вариационного ряда в виде кумуляты оси поменять, то мы получим огиву . На рис. 2.4 приведена огива, построенная на основе данных табл. 2.11.
Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, если найти середины сторон прямоугольников и затем эти точки соединить прямыми линиями. Полученный полигон распределения изображён на рис. 2.2 пунктирной линией.
При построении гистограммы распределения вариационного ряда с неравными интервалами по оси ординат наносят не частоты, а плотность распределения признака в соответствующих интервалах.
Плотность распределения – это частота, рассчитанная на единицу ширины интервала, т.е. сколько единиц в каждой группе приходится на единицу величины интервала. Пример расчета плотности распределения представлен в табл. 2.12.
Таблица 2.12 - Распределение предприятий по числу занятых (цифры условные)
| N п/п | Группы предприятий по числу занятых, чел. | Число предприятий | Величина интервала, чел. | Плотность распределения |
| А | 1 | 2 | 3=1/2 | |
| 1 | До 20 | 15 | 20 | 0,75 |
| 2 | 20 – 80 | 27 | 60 | 0,25 |
| 3 | 80 – 150 | 35 | 70 | 0,5 |
| 4 | 150 – 300 | 60 | 150 | 0,4 |
| 5 | 300 – 500 | 10 | 200 | 0,05 |
| ВСЕГО | 147 | ---- | ---- |
Для графического изображения вариационных рядов может также использоваться кумулятивная кривая . При помощи кумуляты (кривой сумм) изображается ряд накопленных частот. Накопленные частоты определяются путём последовательно суммирования частот по группам и показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше, чем рассматриваемое значение.
Рис. 2.4. Огива распределения семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека
При построении кумуляты интервального вариационного ряда по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а по оси ординат накопленные частоты.
Все камни
Мясо с картошкой в фольге в духовке порционно рецепт с фото Мясо запеченное в фольге с картошкой
Все камни
Мясо с картошкой в фольге в духовке порционно рецепт с фото Мясо запеченное в фольге с картошкой
Талисманы и обереги
