Оптимальности заимствован из математического программирования и теории управления. Методологической основой теории оптимизации экономики является принцип народно-хозяйственной оптимальности, т. . изучение экономических явлений с позиций целого, с позиций всего народного хозяйства. К. о. призван помочь обосновать решение. Практические задачи обоснования решения можно условно подразделить на 3 типа. Сущность задач 1-го типа заключается в необходимости выбора наилучшего варианта действий, обеспечивающих достижение вполне определенного, т. е. заданного результата при минимальном расходе ресурсов. В задачах 2-го типа объем имеющихся ресурсов зафиксирован, нужно найти наилучший вариант их использования для получения максимального результата. Задачи, в которых поиск наилучшего варианта ведется при отсутствии жестких ограничений как по объему используемых ресурсов, так и по конечному результату, относятся к 3-му типу. При обосновании решений оперируют понятием степень достижения цели, которую характеризуют определенным показателем. Ресурсы, имеющиеся в распоряжении общества, отрасли или предприятия, ограничены, поэтому объем ресурсов, выделяемых на одну цель , в какой-то степени зависит от того, сколько их выделено на др. цели. Следовательно, любой вариант распределения ресурсов прямо или косвенно касается одновременно несколько целей и поэтому характеризуется несколькими показателями. Решение задачи любого типа в принципе сводится к рассмотрению множества альтернатив с последующей их сравнительной оценкой и выбором наилучшей. Примером задачи 1-го типа может служить т. . транспортная задача. В стране имеется n мест добычи угля, откуда он доставляется т потребителям, расположенным в различных городах страны. Известна стоимость доставки тонны угля из i-го места добычи (i = 1, 2,..., n) в j-й пункт потребления (j = 1, 2,..., m). Количество угля xj, необходимое каждому потребителю, также известно. Следует определить план доставки потребителям требующегося количества угля при минимуме затрат. Решение такой задачи методологически просто, поскольку значения всех показателей, характеризующих результаты действий, - xj зафиксированы (являются ограничениями в виде равенств). Каждый вариант плана обеспечения потребителей углем оценивается одним переменным показателем - затратами, являющимися К. о. Значительно сложнее решать задачи подобного типа, когда, кроме денежных затрат, приходится учитывать расход материальных, трудовых и др. ресурсов, которые иногда не удается выразить в денежной форме. Аналогичные трудности возникают в задачах 2-го типа, поскольку результаты распределения ресурсов характеризуются несколькими показателями, имеющими переменное значение . Случай , когда сравниваются различные варианты капиталовложений в развитие отрасли, производственные объединения или отдельные предприятия и соответствующие им конечные результаты работы, является примером задачи 3-го типа. С такими задачами чаще всего приходится встречаться в процессе планирования, когда нужно решить, что лучше - повысить производственные возможности за счет увеличения капиталовложений или, предположим, оставить те и др. на прежнем уровне. Результаты каждого решения характеризуются сочетанием значений нескольких показателей. Чтобы установить, какое из возможных решений лучше, нужно сравнить их по нескольким показателям. В этом случае может возникнуть необходимость в формировании К. о., который облегчит сравнительную оценку альтернатив. В качестве К. о. можно использовать величину, которая, как и отдельные показатели, измеряется в непрерывной или дискретной шкалах. Причем дискретные оценки могут быть порядковыми и метрическими. Порядковая шкала представляет собой последовательность различных сочетаний значений показателей, составленную исходя из соответствия этих сочетаний определенным целям. При использовании подобной шкалы для сравнения вариантов нельзя установить, насколько один результат лучше другого, можно только определить, какой из вариантов лучше других. Метрическая шкала, в отличие от порядковой, допускает оценку «расстояния» между двумя соседними порядками (рангами), т. е. позволяет установить, насколько одна альтернатива лучше другой. Примером порядковой шкалы для одного показателя могут быть словесные (качественные) определения степени достижения намеченной цели: полное удовлетворение какой-либо потребности , частичное удовлетворение потребности и т. . Показатель, выраженный в метрической шкале, может представлять собой объем продукции определенного назначения. На практике чаще всего приходится сравнивать альтернативы, различающиеся конечными результатами и затратами типа «лучше и дороже», «хуже и дешевле». Причем результаты характеризуются несколькими показателями. Задачи подобного типа иногда называют задачами векторной оптимизации. При этом компонентами вектора являются показатели, характеризующие степень достижения отдельных целей. Среди сравниваемых вариантов обычно выделяют рациональные, к числу которых относятся варианты, обеспечивающие достижение определенного результата при минимуме затрат или достижение максимального результата при определенных затратах. Выбор наилучшего (оптимального) варианта из числа рациональных может производиться с помощью соответствующих К. о. Объективная необходимость сравнивать варианты по нескольким несоизмеримым показателям является основной причиной трудностей, которые нужно преодолеть при формировании К. о. Нельзя считать лучшим вариант, при котором один показатель невозможно дальше увеличивать, не уменьшая значения хотя бы одного из остальных (т. н. оптимум или максимум по Парето). К. о. должен быть таким, чтобы в общем случае можно было сравнивать варианты, когда один из показателей (одна из компонент вектора) возрастает, а другой уменьшается. По-видимому, самое большое, на что можно рассчитывать при сравнении векторов (сочетаний значений нескольких показателей, характеризующих степень достижения различных целей),- это установление предпочтений между ними, т. е. оценка векторов с помощью порядковой шкалы. Следует заметить, что оценки векторов по порядковой шкале вполне достаточно для сравнения вариантов и выбора наилучшего из них. В условиях социалистического общества все решения, принимаемые на различных уровнях в системе планирования и управления, должны в максимально возможной степени соответствовать высшей цели - наиболее полному удовлетворению потребностей общества. Эта цель может быть достигнута при условии постановки и последующего достижения определенной совокупности социально-экономических целей, предусматривающих удовлетворение всех потребностей общества. Для удовлетворения потребностей общество должно производить различную продукцию. Необходимость в этой продукции зависит от уровня удовлетворения личных и др. непроизводственных потребностей сегодня и в будущем. Т. о., уровень развития производства можно рассматривать как аргумент , функцией которого является степень удовлетворения непроизводственных потребностей общества. Одна из задач планирования - определение наиболее рациональных пропорций в производстве различных продуктов. В процессе планирования должны быть рассмотрены варианты распределения трудовых и др. ресурсов, имеющихся в распоряжении общества, и выбран тот вариант, который в наибольшей степени отвечает потребностям общества. Маркс писал, что «общественная потребность, то есть потребительная стоимость в общественном масштабе, - вот что определяет здесь долю всего общественного рабочего времени, которая приходится на различные особые сферы производства» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 25, . 2, . 186). Т. о., сравнительная оценка вариантов народно-хозяйственного плана должна производиться по критерию, отражающему степень соответствия плана общественным потребностям. Планы реализуются во времени и пространстве. Следовательно, в общем случае значения отдельных показателей должны характеризовать изменения степени удовлетворения потребностей в разные годы периода планирования и в различных районах страны. Сравнение вариантов плана по большому числу показателей представляет значительные трудности. Чтобы уменьшить число показателей, прибегают к обобщению информации. Чем выше уровень планирующего органа, тем больше степень обобщения. Так, для принятия решения на высшем уровне степень удовлетворения определенной потребности населения, по-видимому, можно представить как отношение планируемого объема производства продуктов некоторого вида к количеству продуктов (услуг), обеспечивающему данную потребность в соответствии с платежеспособным спросом населения, а также за счет общественных фондов. При этом степень удовлетворения потребности будет характеризоваться одним показателем W. Чтобы избежать необходимости оперировать значениями этого показателя в разные годы, можно учитывать его значение на конец планируемого периода. Это допустимо, если предполагается равномерное увеличение значения показателя по годам. Если исходить из необходимости удовлетворения n потребностей общества, то каждый вариант народно-хозяйственного плана будет характеризоваться, как минимум , сочетанием значений n показателей W1, W2,..., Wn. Сравнительная оценка вариантов плана, разрабатываемого на любом уровне, может производиться либо непосредственно по сочетанию значений показателей, либо по специально сформированному К. о. Главным требованием, которому должен отвечать К. о., используемый на любом уровне, является возможность обеспечить оценку вариантов исходя из поставленной цели. Одним из способов отражения соответствия различных сочетаний значений нескольких показателей высшей цели является упорядоченная последовательность этих сочетаний. Выбор или формирование К. о. - главный вопрос сравнительной оценки альтернатив. При этом основным методологическим принципом является системный подход к оценке возможных решений. Сущность системного подхода заключается в том, что целесообразность тех или иных изменений объекта определяется с учетом его взаимосвязей, исходя из интересов системы, составной частью которой является рассматриваемый объект . Нельзя дать заранее какие-либо рекомендации относительно конкретного содержания К. о. Они могут быть сделаны только после рассмотрения общих целей и установления степени соответствия различных сочетаний значений показателей, характеризующих объект, целям, которые стоят перед системой. При обосновании решений особое значение имеет учет неопределенности, например, характеристик разрабатываемой техники, ее стоимости, условий, в которых она будет использоваться, и т. п. Существует формальная «теория принятия решений», которая рассматривает различные способы формирования критерия оценки альтернатив в условиях неопределенности: критерий максимина, критерий минимаксного сожаления и т. п. Сравнение альтернатив нужно всегда проводить по одному критерию. Однако это не исключает возможности поочередной оценки вариантов сначала по одному, а затем по другому критерию. Вопросам количественного обоснования решений в условиях неопределенности уделено значительное внимание в литературе по анализу систем. Анализ систем представляет собой метод оценки альтернатив в условиях неопределенности при наличии нескольких противоречивых целей. Применение этого метода облегчает обоснование целей действий, а также выявление преимуществ и недостатков альтернативных вариантов действия. Однако окончательный выбор осуществляется руководителем, ответственным за принятие решения. Лит.: Льюс Р. Д., Райфа Х., Игры и решения, пер. с англ., М., 1961; Пугачев . Ф., Оптимизация планирования (теоретические проблемы), М., 1968; Федоренко Н. П., О разработке системы оптимального функционирования экономики, М., 1968; Солнышков . С., Как обосновать решение, М., 1972. Ю. С. Солнышков.

Оптимизационные задачи

Примером задачи многопараметрической (двухпараметрической) оптимизации будет задача выбора диаметра трубопровода с горячей жидкостью или паром, так как одновременно выбирается диаметр трубопровода и толщина тепловой изоляции при постоянстве остальных. При этом оба параметра дискретны, так как существуют как сортамент труб , так и типовые параметры готовых теплоизоляционных сегментов . Оптимизации подлежат параметры многих технологических процессов , объёмы производства предприятий , уровни надёжности продукции и мн. др.

Большие сложности вызывают «неисчисляемые» критерии оптимальности, которые касаются, например, гуманитарных вопросов, художественного впечатления, изменения ландшафта и т. п. (например, максимум удобства, красоты). Для учёта таких критериев могут применяться экспертные оценки .

Наиболее разработаны методы однокритериальной оптимизации, в большинстве случаев позволяющие получить однозначное решение. В задачах многокритериальной оптимизации абсолютно лучшее решение выбрать невозможно (за исключением частных случаев), так как при переходе от одного варианта к другому, как правило, улучшаются значения одних критериев, но ухудшаются значения других. Состав таких критериев называется противоречивым, и окончательно выбранное решение всегда будет компромиссным. Компромисс разрешается введением тех или иных дополнительных ограничений или субъективных предположений. Поэтому невозможно говорить об объективном единственном решении такой задачи.

Часто многокритериальную задачу сводят к однокритериальной применением «свёртки» критериев в один комплексный, называемый целевой функцией (или функцией полезности). Например, в конкурсных процедурах выбора подрядчиков и поставщиков целевая функция рассчитывается на основе балльных критериев. В ряде случаев успешно применяются ранжирование и последовательное применение критериев оптимальности, метод анализа иерархий .

Иногда общим методом для многокритериальных задач называют оптимальность по Парето , которое позволяет найти ряд «неулучшаемых» решений, однако этот метод не гарантирует глобальной оптимальности решений. Менее известна «оптимальность по Слейтеру».

Нормирование критериев

Для удобства и однозначности восприятия критерии K i (где i = 1,…, m ; m - число критериев) нормируют , то есть обычно приводят к следующему виду:

K i ≥ 0;
критерии K i убывают с улучшением решения, с ростом качества проектируемого объекта (встречается и обратное требование).

Например, минимальная цена, потери энергии (равны 1- КПД);

предпочтительно критерии приводить к безразмерному виду.

например, относительная цена (по отношению к цене самого дорогого варианта);

как следствие, наилучшее значение критерия равно нулю. Решения, у которого все критерии нулевые (K i = 0), соответствует идеальному конечному результату (ИКР ), когда объекта нет, но его функция выполняется.

См. также

Квалиметрия

Примечания

Литература

Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. - М .: Наука, 1988. - С. 206.
Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации в теории управления. - СПб. : Питер, 2004. - С. 256. - ISBN 5-94723-514-5
Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения. - М .: Радио и связь, 1992. - С. 504.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Критерий оптимальности" в других словарях:

критерий оптимальности - Наиболее существенный признак оценок, определяющих условия достижения цели какой либо деятельности; К.о. стремится к экстремальному значению [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] критерий оптимальности… … Справочник технического переводчика

Критерий оптимальности - фундаментальное понятие современной экономики (которая переняла его из математического программирования и математической теории управления); применительно к той или иной экономической системе это один из возможных критериев … Экономико-математический словарь

Количественный или порядковый показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого решения для сравнительной оценки возможных решений (альтернатив) и выбора наилучшего. В экономике, напр., критериями оптимальности могут быть … Большой Энциклопедический словарь

Критерий, согласно которому функционирование системы признается наилучшим из всех возможных вариантов. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов

Количественный или порядковый показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого решения для сравнительной оценки возможных решений (альтернатив) и выбора наилучшего. В экономике, например, критериями оптимальности могут… … Энциклопедический словарь

Признак, на основании которого производится сравнительная оценка возможных решений (альтернатив) и выбор наилучшего. Содержание К. о. объективно обусловлено многими факторами: характером общественного строя, экономическими законами,… … Большая советская энциклопедия

Наиболее существенный признак оценок, определяющих условия достижения цели какой либо деятельности; К.о. стремится к экстремальному значению (Болгарский язык; Български) критерий за оптималност (Чешский язык; Čeština) kritérium optimálnosti… … Строительный словарь

КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ - признак, по которому функционирование системы признается наилучшим из возможных вариантов. Применительно к конкретным экономическим решениям К.о. показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого хозяйственного решения… … Большой бухгалтерский словарь

КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ - признак, по которому функционирование системы признается наилучшим из возможных вариантов. Применительно к конкретным экономическим решениям К.о. – показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого хозяйственного решения… … Большой экономический словарь

Критерий оптимальности радиоэлектронной схемы - Глобальная оптимизация 46. Критерий оптимальности радиоэлектронной схемы Правило, служащее для сравнительной оценки качества вариантов радиоэлектронных схем одинакового целевого назначения

Этапы операционного исследования и их содержание

Не существует строгой регламентации хода и содержания операционного исследования, но в любом выполненном проекте можно выделить характерные для ИСО этапы разработки.

1. Постановка задачи. Она включает содержательное описание задачи: объект и цель исследования, внутренние и внешние условия, ресурсы, значения параметров или их оценки, возможные способы действий и возможные результаты, другую имеющуюся информацию. Эту работу выполняют совместно ЛПР и аналитик. После тщательного анализа первоначальной постановки аналитик уточняет с ЛПР содержание задачи по всем аспектам и особо согласовывает показатель, который предлагается в качестве критерия оптимальности.

2. Построение математической модели. Характер задач исследования операций таков, что их решение не может проводиться путем натурного эксперимента или физического моделирования. К примеру, выбор места и мощности нового производства, определение оптимального плана выпуска продукции, формирование портфеля заказов немыслимо производить путем реализации и сравнения различных вариантов. Такая ситуация в науке не нова: так в астрономии нельзя манипулировать небесными телами, но предсказывать положение планет солнечной системы возможно благодаря использованию математической модели. Модели, и в частности математические, широко применяются в различных областях. Математические модели исследования операций отличаются своей направленностью, которая отражается в структуре модели. Математическая модель в ИСО включает:

зависимость критерия от управляемых и неуправляемых переменных;

уравнения, отражающие связи между переменными, к примеру, уравнения на основе материально-энергетических балансов;

ограничения, обусловленные реальными условиями и требованиями к показателям и переменным (неотрицательность, целочисленность, комплектность, допустимые и/или директивные значения и т.п.). В конкретных задачах могут отсутствовать отдельные составляющие модели полностью или частично за исключением критериальной функции, которая должна быть в модели обязательно.

3. Проверка адекватности модели. Математическая модель представляет собой формализованную гипотезу исследователя о реальных взаимосвязях и поведении системы. По этой причине прежде чем использовать модель для прогнозирования последствий и выбора решений, крайне важно убедиться в ее адекватности системе или операции с точки зрения поставленной цели исследования. Для "прозрачных" моделей может быть достаточной качественная проверка, в сложных моделях необходим количественный анализ. В последнем случае для моделирования поведения на модели используются численные методы (иногда это называют прямой задачей: по задаваемым входам нужно определить выходы). Для осуществляемых ранее операций проверка адекватности может производиться по ретроспективным данным (при отсутствии качественных изменений в операции). В других случаях проверка проводится путем наблюдения за реакцией модели и системы на одинаковые решения. При обнаружении неадекватности модель корректируется: при качественном совпадении повысить количественную адекватность можно путем уточнения коэффициентов модели, при более серьезных расхождениях может потребоваться изменение и/или добавление ограничений и уравнений или даже построение другого вида модели. Следует заметить, что такая проверка невозможна для вновь разрабатываемых операций, и тогда приходится довольствоваться качественным тестированием модели.

4. Поиск оптимального решения на модели. Это центральный этап операционного исследования (с математической точки зрения - обратная задача). Он заключается в определении решения, оптимального в смысле принятого критерия. Для отыскания оптимального решения на математической модели применяются методы оптимизации, главным образом методы математического программирования.

5. Анализ оптимального решения. Сюда входит анализ чувствительности полученного решения, параметрический и вариантный анализ, выявление альтернативных оптимальных решений и др. Анализ чувствительности критерия к отклонению переменных от их оптимальных значений позволяет определить разумные требования к точности реализации оптимального решения. Результаты параметрического и вариантного анализа показывают, каким будет оптимальное решение при изменении коэффициентов модели, состава ограничений или при изменении критерия. При этом может устанавливаться значимость отдельных элементов модели, то есть их влияние на оптимальное значение критерия. В случае неединственности оптимального решения появляется дополнительная возможность выбора по показателю, который не представлен в критерии. Важное место в анализе решения отводится интерпретации полученных результатов в терминах предметной области Л ПР.

6. Внедрение результатов исследования. Здесь главное требование состоит в крайне важности непосредственного участия разработчиков на всех стадиях реализации предлагаемых решений.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, применение научных методов в ИСО отличается всесторонним количественным исследованием, основанным на математической модели и ставящим своей целью определение оптимального решения в интересах ЛПР.

Поставленная в операции цель может быть достигнута по-разному и в разной степени в зависимости от принимаемых решений. Критерий есть тот показатель, который характеризует (оценивает) эффективность решений с точки зрения достижения цели, а следовательно, позволяет выбрать среди них наилучшее. В ИСО применяют равнозначные термины: критерий оптимальности, критерий эффективности, целевая функция. Последний термин подчеркивает неразрывную связь критерия с целью. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, решение может быть оптимальным только в смысле конкретного критерия в пределах адекватности используемой модели.

В исследовании операций к критерию предъявляются определенные требования. Наиболее важные из них следующие.

1. Критерий должен быть количественной и неслучайной величиной.

2. Критерий должен правильно и полно отражать поставленную цель. Его можно рассматривать как количественную модель качественной цели.

3. Критерий должен иметь простой и понятный ЛПР физический смысл.

4. Критерий должен быть чувствителен к управляемым (искомым) переменным.

При исследовании действующих систем к критерию могут предъявляться дополнительные требования, такие как измеримость, статистическая однозначность, статистическая эффективность и др.

Множество показателей, которые в ИСО используются в качестве критериев, можно условно разделить на ряд групп: социальные (среднедушевой доход, обеспеченность жильем и т.п.), экономические (прибыль, рентабельность, себестоимость и др.), технико-экономические (производительность, урожайность и др.), технико-технологические (прочность, чистота материала, другие физические или химические показатели), прочие. Οʜᴎ приведены в порядке убывания глобальности применения: первые применяются в системах более высокого уровня (страна, регион, предприятие), последние - в основном на уровне процесса, объекта.

При этом во многих случаях не удается полностью отразить поставленную цель одним критерием и тем более это невозможно, когда в операции преследуется более одной цели. К примеру, цели типа повышение уровня жизни, улучшение экологической обстановки и т.п. нельзя "покрыть" одним критерием. В таких ситуациях вводится несколько показателей, характеризующих достижение цели. Как правило, оптимальные решения, получаемые по разным показателям-критериям, не совпадают, что создает неопределенность в выборе окончательного решения. Задачи, в которых приходится определять наилучшее решение по нескольким критериям, называются многокритериальными или задачами векторной оптимизации. Οʜᴎ составляют особый и более сложный класс задач исследования операций.

Основная проблема постановки задачи оптимальности - формулировка целевой функции (ЦФ). Все выходные параметры являются функциями внутренних параметров и, следовательно, не могут изменяться независимо друг от друга. Среди них всегда можно найти такие параметры, что улучшение одного из них приводит к ухудшению другого. Такие параметры называются конфликтными.

Если среди выходных параметров можно выделить параметр, наиболее важный и наиболее полно характеризующий свойства объекта, то его естественно и принять за ЦФ. Это частный критерий. В большинстве частных критериев в качестве ЦФ принимают один из выходных параметров, все остальные выходные параметры в виде соответствующих условий работоспособности относят к ограничениям. Например, при проектировании космического аппарата (КА) применяют критерий начальной массы аппарата при заданной массе полезного груза, поскольку она в значительной степени влияет на стоимость выведения КА на орбиту. Следовательно, минимизируются затраты топлива. Применяются, например, ограничения типа равенств на угловую дальность (траекторию) и неравенств на время полета.

Однако в большинстве случаев отдать предпочтение одному среди качественно разнородных величин довольно трудно, поэтому прибегают к построению комплексного критерия, при котором ЦФ объединяет все или большинство выходных параметров. Рассмотрим наиболее распространенные из комплексных критериев.

Мультипликативные критерии . Они могут применяться в тех случаях, когда в ТЗ отсутствуют условия работоспособности типа равенства и выходные параметры не могут принимать нулевые значения.

Тогда ЦФ, подлежащая максимизации, имеет вид:

f (x ) = ,

где: ‘+" - ограничения, при которых необходимо максимальное увеличение функции;

‘-" - ограничения, при которых необходимо минимизировать функцию.

Удобство этого критерия в том, что не требуется нормирования.

Например, к числу указанных ограничений в ряде задач относятся: ‘+"- КПД, мощность; ‘-" - габариты, вес.

Аддитивные критерии . В аддитивных критериях целевая функция образуется путем сложения выходных параметров, преобразованных к безразмерным слагаемым. Это осуществляется с помощью введения нормирующих множителей - весовых коэффициентов. Нормирование необходимо для объединения нескольких выходных параметров, имеющих в общем случае различную физическую размерность. Тогда ЦФ имеет вид:

f (x )= ω j y j (x ),

где ω j - весовой коэффициент, определяемый самим инженером или группой экспертов.

Статистические критерии . Оптимизация имеет целью получения максимальной вероятности Р выполнения условий работоспособности. Эту вероятность и принимают в качестве ЦФ. Например, применение статистического критерия позволяет добиться наименьшего процента брака при серийном производстве спроектированных изделий, т. е. получить максимальную серийную пригодность, или, используя статистические данные по старению, можно получить объекты, имеющие высокую надежность.

Максимальные (минимальные) критерии . Введем количественную оценку степени выполнения j-го условия работоспособности, обозначим ее через Z j и назовем запасом работоспособности параметра y j . Расчет запаса по j-му выходному параметру можно выполнить различными способами, например:

где - весовой коэффициент;

Номинальное значение j-го выходного параметра;

Величина, характеризующая разброс j-го выходного параметра. Рекомендуется 5 ≤≤ 20.

Если в качестве целевой функции рассматривается запас только того выходного параметра, который в данной точке x является наихудшим с позиции выполнения требований ТЗ, то:

f (x )= min (x ), 1≤ j ≤ m .

где m - количество запасов работоспособности.

Поэтому ставится задача о выборе такой стратегии поиска x, которая максимизировала бы минимальный из запасов, т. е.

max f(x)=max min (x), 1 ≤ j ≤ m, x X Д ,

где X Д - допустимая для поиска область.

Задача оптимизационного проектирования технических объектов в некоторых случаях можно сформулировать как задачу безусловной оптимизации (без ограничений), но наиболее типичной является условия оптимизации, дающая условие целевой функции при наличии ограничений.

В зависимости от диапазона исследования различают методы локальной и глобальной оптимизации, которые могут и не совпадать.

В зависимости от порядка используемых производных целевой функции по управляемым параметрам методы оптимизации делят на методы нулевого, первого и второго порядков. В методах нулевого порядка (прямых методах) информация о производных не используется. Для методов первого порядка необходимо вычислять как значение функции качества, так и ее первые частные производные (градиентные методы). В методах второго порядка организация поиска экстремума ведется с учетом значений целевой функции, ее первых и вторых производных.

В зависимости от количества управляемых параметров ЦФ различают методы одномерного и многомерного поиска. В зависимости от вида ММ при решении задач оптимального проектирования можно использовать следующие методы: исследование функций классического анализа; метод множителей Лагранжа; вариационное исчисление; принцип максимума Понтрягина; динамическое программирование; линейное программирование; нелинейное программирование; методы случайного поиска и др.

Все градиентные методы используют особенности поведения градиента, которые заключаются в том, что градиент ортогонален к гиперповерхности целевой функции в точке его определения и это направление совпадает с локальным направлением наибыстрейшего возрастания целевой функции. Способ выбора шага, направления поиска или того и другого одновременно определяют сущность метода. Особенностью метода наискорейшего спуска является движение с оптимальным шагом, рассчитанным с помощью одномерной минимизации целевой функции по шагу вдоль антиградиентного направления. Действительно, если в какой - либо точке x направление поиска определено, то целевая функция может считаться функцией переменного параметра шага, характеризующего положение новой точки на x заданной прямой. Поэтому алгоритм метода наискорейшего спуска содержит следующие этапы.

1. Вычисление частных производных целевой функции по управляемым параметрам в исходной или промежуточной точке.
2. Нахождение одним из методов одномерного поиска оптимального вдоль антиградиентного направления.
3. Вычисление координат новой точки x .

Движение прекращается вдоль одного направления, когда линия направления поиска становится касательной к какой - либо линии равного уровня. Каждое направление движения к экстремуму ортогонально предшествующему, если ЦФ квадратичная.

В отличие от градиентных, методы поисковой оптимизации хорошо программируются и требуют меньших затрат машинного времени. Для них характерен выбор направления поиска оптимума по результатам последовательных вычислений ЦФ. По способу точки испытаний ЦФ поисковые методы оптимизации делятся на детерминированные методы поиска и методы случайного поиска. В детерминированных методах переход их предыдущей точки в последующую происходит в соответствии с некоторым алгоритмом, определяющим тот или иной метод. В методах случайного поиска в этот процесс вносится некоторый элемент случайности.

Рассмотрим работу одного из детерминированных методов, предложенный Вудом. Метод поочередно реализует две стратегии поиска: «исследующий поиск» и «поиск по образцу». Вначале задаются исходными значениями элементов x, а также элементов вектора приращений Δ x . «Исследующий поиск» заключается в следующем. Циклически по каждой переменной x вычисляют значение целевой функции для x i + Δ x i и x i - Δ x i , оставляя при этом остальные переменные неизменными. Если окажется, что значение ЦФ улучшается при изменении x на величину ± Δ x i , то новое значение фиксированной переменной принимают равным x i + Δ x i или x i - Δ x i . Аналогичные действия выполняют и для остальных переменных.

После проведения одного (или более) «исследующего поиска» переходят к стратегии «поиска по образцу», заключающейся в следующем. В направлении вектора, определяемого изменениями переменных, которые улучшают значение целевой функции, делают несколько ускоряющихся шагов до тех пор, пока значение ЦФ продолжают уменьшаться. Длину шага при «поиске по образцу» для ускорения увеличивают пропорционально числу удачных шагов введением некоторого множителя. Если «поиск по образцу» после серии удачных шагов перестает улучшать значение целевой функции, то возвращаются к стратегии «исследующего поиска».

Описанный поиск прекращается при выполнении одного из следующих трех условий:

1) ЦФ достигает некоторого заранее установленного значения;
2) значения ЦФ оказываются меньше заранее определенных чисел (в задаче минимизации);
3) разность между последним и предыдущим значениями ЦФ не превышают некоторого заранее установленного уровня.

Идея методов случайного поиска заключается в том, чтобы перебором совокупностей случайных значений управляемых параметров найти оптимальное значение ЦФ. В отличие от детерминированных методов, в методах случайного поиска направления поиска выбираются случайными на основе генерации в ЭВМ псевдослучайных чисел посредством специальных программ.

Среди многих разновидностей методов случайного поиска простейшим будет слепой поиск (метод Монте-Карло). На (k+1)-м шаге поиска выбирается случайная точка из допустимой области, вычисляется значение x k+1 и сравнивается со значением, полученным на предыдущем шаге. Если , то запоминаются координаты точки и новое значение ЦФ, иначе делается попытка достичь успеха либо изменяя направление на противоположное, либо выбирая новое случайное направление.

Отсутствие универсального метода оптимизации послужило причиной появления множества узкоспециализированных методов, приспособленных к решению отдельных задач. Рассмотрим такие методы, которые можно применить для оптимизаций конструкций элементов и узлов ракетных комплексов.

Тема 2. Основные понятия исследования операций

Основные понятия и особенности исследования операций

Термин "операционные исследования", по-видимому, впервые применил в 1938 г. А.Раув, руководитель научной группы в Бодси (Англия), отнеся его к работам по оценке эффективности операций, проводимых военно-воздушными силами. Однако сегодня больше используют американский термин "исследование операций", имеющий тот же смысл.

Возникнув в недрах военных ведомств, новая наука, развиваясь, находит применение в самых разных областях человеческой деятельности, в том числе в бизнесе.

В настоящее время исследование операций можно рассматривать как одну из важнейших дисциплин, связанных с принятием решений, или как составную часть системного анализа. Суть исследования операций остается неизменной: всесторонний анализ операции, оценка последствий возможных решений, поиск наиболее эффективных вариантов достижения цели. Приведем одно краткое определение, отражающее его главное предназначение:

Исследование операций (ИСО )- это наука о количественном обосновании оптимальных решений.

При этом под оптимальным понимается решение, наилучшее в определенном смысле. Нельзя говорить об оптимальном решении вообще, корректное применение этого понятия требует конкретизации его смысла и условий, в которых принимается решение.

В то же время "операция "- широкое понятие: это есть совокупность действий или мероприятий, направленных на достижение определенной цели. В ИСО описание операции включает следующее.

1. Цель операции, то есть то, ради чего проводится операция.

2. Оперирующая сторона - лицо или группа лиц, преследующих поставленную цель. В сложных операциях оперирующая сторона состоит из лица, принимающего решение (ЛПР), и аналитиков - специалистов по исследованию операций. Физически ЛПР - это одно лицо или группа лиц, наделенных правом принимать решения и несущих за них ответственность. Подготовка решений ложится на аналитиков. Разница между первыми и вторыми не только в знаниях методологии и методов ИСО, но и в информированности об операции. Причины этого кроются в сложности извлечения и представления информации, которой владеет ЛПР, или в нежелании ЛПР раскрывать все карты. В простых случаях ЛПР и аналитик могут быть в одном лице.

3. Активные средства - это, как правило, ресурсы, используемые для достижения цели.

4. Способы действий, поведения или использования активных средств. Их называют решениями, альтернативами или стратегиями в зависимости от типа операции.

5. Результаты или исходы операции.

6. Тип связи между решениями (стратегиями) и исходами операции. Он зависит от условий, в которых протекает операция.

Говоря об ИСО как о самостоятельном направлении, обычно отмечают его три основные особенности : системный подход, комплексный коллектив исследователей, применение научных методов.

Под системным подходом понимается комплексная методология исследования сложных систем или проблем. В этой методологии определяющим является подход к любой части системы (проблемы) с позиции системы в целом, превалирование цели системы над целями ее подсистем. Другое важнейшее требование системного подхода состоит в том, что необходимо стремиться выявить все существенные факторы и взаимосвязи, влияющие на достижение цели системы. Для этого приходится расширять первоначальный объект исследования, искать скрытые от первого взгляда связи между факторами и частями системы.

Вторая особенность ИСО обусловлена необходимостью изучения и анализа проблемы с разных точек зрения, стремлением выйти за рамки стереотипов. Именно поэтому с момента возникновения исследования операций группы исследователей состояли из специалистов разного профиля (военных, математиков, физиков, психологов и др.), объединенных единой методологией. Такое комплексное исследование позволяет расширять множество альтернатив и находить действительно наилучшее решение.

Применение научных методов присуще любой науке, но в ИСО они имеют свою специфику, которая обусловлена задачей исследования и количественным характером результатов. Чтобы яснее представить эту особенность ИСО, рассмотрим, как проводится операционное исследование.

Этапы операционного исследования и их содержание

2. Построение математической модели. Характер задач исследования операций таков, что их решение не может проводиться путем натурного эксперимента или физического моделирования. Например, выбор места и мощности нового производства, определение оптимального плана выпуска продукции, формирование портфеля заказов немыслимо производить путем реализации и сравнения различных вариантов. Такая ситуация в науке не нова: так в астрономии нельзя манипулировать небесными телами, но предсказывать положение планет солнечной системы возможно благодаря использованию математической модели. Модели, и в частности математические, широко применяются в различных областях. Математические модели исследования операций отличаются своей направленностью, которая отражается в структуре модели. Математическая модель в ИСО включает:

зависимость критерия от управляемых и неуправляемых переменных;

уравнения, отражающие связи между переменными, например, уравнения на основе материально-энергетических балансов;

3. Проверка адекватности модели. Математическая модель представляет собой формализованную гипотезу исследователя о реальных взаимосвязях и поведении системы. Поэтому прежде чем использовать модель для прогнозирования последствий и выбора решений, необходимо убедиться в ее адекватности системе или операции с точки зрения поставленной цели исследования. Для "прозрачных" моделей может быть достаточной качественная проверка, в сложных моделях необходим количественный анализ. В последнем случае для моделирования поведения на модели используются численные методы (иногда это называют прямой задачей: по задаваемым входам нужно определить выходы). Для осуществляемых ранее операций проверка адекватности может производиться по ретроспективным данным (при отсутствии качественных изменений в операции). В других случаях проверка проводится путем наблюдения за реакцией модели и системы на одинаковые решения. При обнаружении неадекватности модель корректируется: при качественном совпадении повысить количественную адекватность можно путем уточнения коэффициентов модели, при более серьезных расхождениях может потребоваться изменение и/или добавление ограничений и уравнений или даже построение другого вида модели. Следует заметить, что такая проверка невозможна для вновь разрабатываемых операций, и тогда приходится довольствоваться качественным тестированием модели.

6. Внедрение результатов исследования. Здесь главное требование состоит в необходимости непосредственного участия разработчиков на всех стадиях реализации предлагаемых решений.

Таким образом, применение научных методов в ИСО отличается всесторонним количественным исследованием, основанным на математической модели и ставящим своей целью определение оптимального решения в интересах ЛПР.

Критерий оптимальности

Поставленная в операции цель может быть достигнута по-разному и в разной степени в зависимости от принимаемых решений. Критерий есть тот показатель, который характеризует (оценивает) эффективность решений с точки зрения достижения цели, а следовательно, позволяет выбрать среди них наилучшее. В ИСО применяют равнозначные термины: критерий оптимальности, критерий эффективности, целевая функция. Последний термин подчеркивает неразрывную связь критерия с целью. Таким образом, решение может быть оптимальным только в смысле конкретного критерия в пределах адекватности используемой модели.

В исследовании операций к критерию предъявляются определенные требования. Наиболее важные из них следующие.

1. Критерий должен быть количественной и неслучайной величиной.

3. Критерий должен иметь простой и понятный ЛПР физический смысл.

4. Критерий должен быть чувствителен к управляемым (искомым) переменным.

Множество показателей, которые в ИСО используются в качестве критериев, можно условно разделить на ряд групп: социальные (среднедушевой доход, обеспеченность жильем и т.п.), экономические (прибыль, рентабельность, себестоимость и др.), технико-экономические (производительность, урожайность и др.), технико-технологические (прочность, чистота материала, другие физические или химические показатели), прочие. Они приведены в порядке убывания глобальности применения: первые применяются в системах более высокого уровня (страна, регион, предприятие), последние - в основном на уровне процесса, объекта.

Однако во многих случаях не удается полностью отразить поставленную цель одним критерием и тем более это невозможно, когда в операции преследуется более одной цели. Например, цели типа повышение уровня жизни, улучшение экологической обстановки и т.п. нельзя "покрыть" одним критерием. В таких ситуациях вводится несколько показателей, характеризующих достижение цели. Как правило, оптимальные решения, получаемые по разным показателям-критериям, не совпадают, что создает неопределенность в выборе окончательного решения. Задачи, в которых приходится определять наилучшее решение по нескольким критериям, называются многокритериальными или задачами векторной оптимизации. Они составляют особый и более сложный класс задач исследования операций.

Все камни