Модели теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания представляет собой область при­кладной математики, использующую методы теории случайных про­цессов и теории вероятностей для исследования различной природы сложных систем. Теория массового обслуживания непосредственно не связана с оптимизацией. Назначение ее состоит в том, чтобы на осно­ве результатов наблюдений за «входом» в систему предсказать ее воз­можности и организовать наилучшее обслуживание для конкретной ситуации и понять, как последнее отразится на стоимости системы в целом.

Модели теории массового обслуживания описывают процессы массового спроса на обслуживание с учетом случайного характера поступления требований и продолжитель­ности обслуживания.

Назначение моделей теории массового обслуживания состоит в том, чтобы на основе информации о входящем случайном потоке требова­ний предсказать возможности системы обслуживания, организовать наилучшее выполнение требований для конкретной ситуации и оце­нить, как это отразится на ее стоимости.

Система массового обслуживания (СМО) возникает тогда, когда происходит массовое появление заявок (требований) на обслуживание и их последующее удовлетворение.

Особенностью СМО является случайный характер исследуе­мых явлений. Типичный пример СМО - телефонная сеть (снятием трубки с рычага телефонного аппарата абонент дает заявку на обслуживание разговора по одной из линий телефонной сети).

Основными элементами СМО являются:

Входящий поток заявок (требований) на обслуживание;

Очередь заявок на обслуживание;

Приборы (каналы) обслуживания;

Выходящий поток обслуженных заявок (рисунок 8.5).

Такой элемент СМО как очередь может отсутствовать в не­которых системах, но в тоже время СМО может иметь и другие элементы, например, выходящий поток не обслуженных заявок.

Для систем, относящихся к системам массового обслуживания, существует определенный класс задач, решение которых позволяет от­ветить, например, на следующие вопросы:

Рисунок 8.5 - Обобщенная схема СМО

С какой ин­тенсивностью должно проходить обслуживание или должен выполнять­ся процесс при заданной интенсивности и других параметрах входящего потока требований, чтобы минимизировать очередь или задержку в подготовке документа или другого вида информации?

Каковы вероят­ность появления задержки или очереди и ее величина? Сколько време­ни требование находится в очереди и каким образом минимизировать его задержку?

Какова вероятность потери требования (клиента)?

Ка­кова должна быть оптимальная загрузка обслуживающих каналов? При каких параметрах системы достигаются минимальные потери прибы­ли?

К этому перечню можно добавить еще целый ряд задач.

Как системы массового обслуживания могут быть представ­лены следующие работы и процессы: посадка самолетов в аэро­порту, обслуживание автомобилей на автозаправочных станциях, разгрузка судов на причалах, обслуживание покупателей в ма­газинах, прием больных в поликлинике, обслуживание клиентов в ремонтной мастерской и др.

Часто входной поток заявок представляется в виде про­стейшего потока, обладающего свойством стационарности, от­сутствия последствия и ординарности.

Поток является стационарным, если вероятный режим не зависит от времени. Ординарность потока наступает, если ве­роятность появления двух и более заявок за промежуток вре­мени τ является бесконечно малой величиной по сравнению с τ. Поток обладает свойством отсутствия последствия, если поступление заявок не зависит от предистории процесса.

Для простейшего потока поступление заявок в СМО описы­вается законом распределения Пуассона

Р к (τ ) ,

где Р к (τ ) -вероятность поступления к заявок за время τ ;

λ - интенсивность входного потока.

Важное для исследования свойство, которым обладает пуассоновский поток, заключается в том, что процедура разделения и объединения дает снова пуассоновские потоки. Тогда, если входной по­ток формируется из N независимых источников, каждый из которых порождает пуассоновский поток интенсивностью λ i (i = 1, 2, ..., N), то его интенсивность будет определяться по формуле

λ = λ l + λ 2 +...+ λ N .

В случае разделения пуассоновского потока на N независимых по­токов получим, что интенсивность потока λ i будет равна r i λ ,где r i - доля i-го потока во входном потоке требований.

Очередью является множество заявок (требований), ожи­дающих обслуживание.

В зависимости от допустимости и характера формирования очереди системы массового обслуживания подразделяются:

1. СМО с отказами - формирование очереди не разрешено, поэтому заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и теряется. Пример: АТС (выполнение заказов к определенному сроку), система ПВО объекта (цель в зоне об­стрела пребывает мало времени).

2. СМО с неограниченным ожиданием - поступившая заяв­ка, застав все обслуживающие приборы занятыми, становится в очередь и дожидается обслуживания. Число мест для ожидания (длина очереди) не ограничено. Не ограничивается и время ожидания. Пример: предприятия бытового обслуживания, такие как мастерские по ремонту часов, обуви.

3. СМО смешанного типа. В этих системах имеется очередь,
на которую накладываются ограничения. Например: на макси­мальную длину очереди (I тип – с ограниченной ДО) или на время ожидания заявки в очереди (П тип – с ограниченным ВО). Примерами СМО I-го типа являются мастер­ские по ремонту радиоаппаратуры с ограниченными площадями для ее хранения. Торговые точки по продаже фруктов, овощей, которые могут храниться ограниченное время, являются смешан­ными СМО II -го типа.

Порядок поступления заявок на обслужива­ние называется дисциплиной обслуживания.

В СМО с очередью могут быть следующие варианты дисцип­лины обслуживания:

а) в порядке поступления заявок (первым пришел – первым обслужился) - магазины, предприятия бытового обслуживания;

б) в порядке обратном поступлению, т. е. последняя заявка обслуживается первой (последним пришел - первым обслужился) - выемка заготовок из бункера;

в) в соответствии с приоритетом (участники ВОВ в поликлинике);

г) в случайном порядке (в системе ПВО объекта при отра­жении воздушного налета противника).

Основным параметром процесса обслужи­вания считается время обслуживания заявки каналом (обслуживающим прибором j) – t j (j=1,2,…,m).

Величина t j в каждом конкретном случае определяется рядом факторов: интенсивностью поступления заявок, квалификацией ис­полнителя, технологией работ, окружающей средой и т.д. Законы рас­пределения случайной величины t j могут быть самыми различными, но наибольшее распространение в практических приложениях полу­чил экспоненциальный закон распределения. Функция распределения случайной величины t j имеет вид:

F(t) = l – e - μt ,

где m - положительный параметр, определяющий интенсивность обслужи­вания требований;

где Е (t) - математическое ожидание случайной величины обслуживания тре­бования t j .

Важнейшее свойство экспоненциального распределения заключа­ется в следующем. При наличии нескольких однотипных каналов об­служивания и равной вероятности их выбора при поступлении заявки распределение времени обслуживания всеми m каналами будет пока­зательной функцией вида:

Если СМО состоит из неоднородных каналов, то , если
же все каналы однородные, то .

По количеству обслуживающих приборов (каналов) СМО де­лятся на:

Одноканальные;

Многоканальные.

Структура СМО и характерис­тика ее элементов приведены на рисунке 8.6.

Исследование СМО заключается в нахождении показателей, харак­теризующих качество и условия работы обслуживающей системы и показателей, отражающих экономические последствия принятых ре­шений.

Важнейшим понятием в анализе СМО является понятие сос­тояния системы. Состояние есть некоторое описание системы, на основании которого можно предсказать ее будущее поведение.

Рисунок 8.6 – Структура и характеристика элементов СМО

При анализе СМО определяют усредненные показатели об­служивания. В зависимости от решаемой задачи ими могут быть:

средняя длина очереди,

среднее время ожидания в очереди,

средний процент обслуживаемых (или получивших отказ) заявок, среднее число занятых (или простаивающих) каналов,

среднее время пребывания в СМО и др.

В качестве критерия оптимизации применяют:

Максимум прибыли от эксплуатации СМО;

Минимум суммарных потерь, связанных с простоем кана­лов, простоем заявок в очереди и уходом необслуженных за­явок;

Обеспечение заданной пропускной способности.

Варьируемыми параметрами обычно являются: количество каналов, их производительность, длина и дисциплина очереди, приоритетность обслуживания.

Вопросы для самопроверки

1. Понятие о математических моделях и моделировании.

2. Что представляет собой экономико-статистическая модель и производственная функция?

3. Применение графических и графоаналитических моделей в управлении.

4. Использование корреляционного анализа для выявления связи между параметрами

5. Виды и методы построения регрессионных моделей.

6. Статистическое исследование причинно-следственных связей.

7. Классификация математических моделей по четырем аспектам детализации (по В.А. Кардашу).

8. Классификация моделей по применяемому математическому аппарату. Понятие о балансовых моделях.

9. Этапы моделирования. Проверка модели на адекватность.

10. Понятие о системах массового обслуживания (СМО). Составные части СМО.

11. СМО с отказами и с очередью. Разновидности очередей.

12. Одноканальные и многоканальные СМО. Дисциплины обслуживания

13. Моделирование СМО. Показатели, получаемые при экспериментах на модели СМО.

14. Критерии оптимизации систем массового обслуживания.

1. Предмет и задачи В производственной деятельности и повседневной жизни часто возникают ситуации, когда появляется необходимость в обслуживании требований или заявок поступающих в систему. Часто встречаются ситуации, в которых необходимо пребывать в ситуации ожидания. Примерами тому может служить очередь покупателей у касс большого магазина, группа пассажирских самолетов, ожидающих разрешения на взлет в аэропорте, ряд вышедших из строя станков и механизмов, поставленных в очередь для починки в ремонтном цехе предприятия и т.д. Иногда системы обслуживания обладают ограниченными возможностями для удовлетворения спроса, и это приводит к образованию очередей. Как правило, ни время возникновения потребностей в обслуживании, ни продолжительность обслуживания заранее не известны. Избежать ситуации ожидания чаще всего не удается, но можно сократить время ожидания до какого-то терпимого предела.

Предметом теории массового обслуживания являются системы массового обслуживания (СМО).Задачами теории массового обслуживания являются анализ и исследование явлений, возникающих в системах обслуживания.Одна из основных задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное качество функционирования, например, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди.Цель изучения режима функционирования обслуживающей системы в условиях, когда фактор случайности является существенным,контролировать некоторыеколичественные показатели функционирования системы массового обслуживания. Такими показателями, в частности являются среднее время пребывания клиента в очереди или доля времени, в течение которой обслуживающая система простаивает. При этом в первом случае мы оцениваем систему с позиции «клиента», тогда как во втором случае мы оцениваем степень загруженности обслуживающей системы. Путем варьирования операционными характеристиками обслуживающей системы может быть достигнут разумныйкомпромисс между требованиями «клиентов» и мощностью обслуживающей системы.

В качестве показателей СМО могут применяться также такие величины как среднее число заявок в очереди, вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение и т.д.

Система - совокупность элементов, связей между ними и цели функционирования. Любой системе массового обслуживания характерна структура, которая определяется составом элементов и функциональными связями.

Основные элементы системы следующие:

1. Входящий поток требований (интенсивность входящего потока );

2. Каналы обслуживания (число каналов n , среднее число занятыхk , производительность );

3. Очередь требований (среднее число заявок z , среднее время пребывания одной заявкиt );

4. Выходящий поток требований (интенсивность входящего потока  ).

2. Классификация систем массового обслуживания По количеству каналов СМО подразделяют наодноканальные имногоканальные . По месту нахождения источников заявок системы массового обслуживания можно разделить на:

 закрытые – источник в системе и оказывает на нее влияние;

 открытые – вне системы и не оказывает влияния.

По фазам обслуживания СМО можно разделить на:

 однофазные – один этап обслуживания,

 многофазные – два и более этапов.

Системы массового обслуживания (СМО) по условиям ожидания делятся на два основных класса: СМО с отказами и СМО с ожиданием . В СМО с отказами заявка, поступающая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (пример - звонок по телефону). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.

СМО с ожиданием подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной илинеограниченной длиной ожидания ,с ограниченным временем ожидания и т.д.

Для классификации СМО важное значение имеет дисциплина обслуживания, определяющая порядок выбора заявок из числа поступивших и порядок распределения их между свободными каналами.Дисциплина обслуживания – правила, по которым действуют СМО. По этому признаку обслуживание требования может быть организованно:

1. по принципу «первый пришел – первый обслужен»;

2. по принципу «первый пришел – последним обслужен» (например, отгрузка однородной продукции со склада).

3. случайно;

4. с приоритетом. При этом приоритет может быть абсолютным (более важная заявка вытесняет обычную) иотносительным (важная заявка получает лишь «лучшее» место в очереди).

При анализе случайных процессов с дискретным состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – так называемымграфом состояний .

Пример . УстройствоS состоит из двух узлов,

каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время. Возможные состояния системы: S 0 – оба узла исправны;S 1 – первый узел ремонтируется, второй исправен;S 2 – первый узел исправен, второй ремонтируется;S 3 – оба узла ремонтируются.

3. Входящий поток требований Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений . Количество требований на обслуживание, временные интервалы между их поступлениями и длительность обслуживания случайны.Поэтому основным аппаратом описания систем обслуживания оказывается аппарат теории случайных процессов, в частности, марковских. Для исследования процессов, происходящих в этих системах, применяются методы имитационного моделирования.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-либо событий (появление новой заявки, приоритета обслуживания, окончания обслуживания).

Под случайным (стохастическим, вероятностным) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностным законом. Заявки на обслуживание в СМО обычно поступают не регулярно (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов компьютеров, поток покупателей и т.д.), образуя так называемыйпоток заявок (или требований).

Поток характеризуетсяинтенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называетсярегулярным , если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени (поток изделий на конвейере сборочного цеха).

Поток событий называетсястационарным , если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности у стационарного потока λ(i )= λ (поток автомобилей на проспекте в часы пик).

Поток событий называетсяпотоком без последствий , если для любых два непересекающихся участков времени –τ 1 иτ 2 – число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие(поток людей, входящих в метро или поток покупателей, отходящих от кассы).

Поток событийординарен , если события появляются в нем поодиночке, а не группами(поток поездов – ординарен, поток вагонов – нет).

Поток событий называетсяпростейшим , если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последствий.

Ординарный поток заявок без последствий описывается распределением (законом) Пуассона.

Простейший поток в теории массового обслуживания играет такую же роль, как и нормальный закон в теории вероятностей. Главная его особенность заключается в том, что при сложении нескольких независимых простейших потоков образуется суммарный поток, который также близок к простейшему.

Каждому событию соответствует момент t , в который это событие произошло. Т – интервал между двумя моментами времени. Поток событий – независимая последовательность моментов t .

Для простейшего потока с интенсивностью λ вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени Δt хотя бы одного события потока равна.

Ординарный поток заявок без последствий описывается распределением (законом) Пуассона с параметром λτ :

, (1)

для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии:
.

В частности, вероятность того, что за время τ не произойдет ни одного события (m =0), равна

. (2)

Пример. На автоматическую телефонную линию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью λ =1,2 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в) придет хотя бы один вызов.

Решение. а) Случайная величина Х – число вызовов за две минуты – распределена по закону Пуассона с параметром λτ =1,2·2=2,4. Вероятность того, что вызовов не будет (m =0), по формуле (2):

б) Вероятность одного вызова (m =1):

в) Вероятность хотя бы одного вызова:

4. Предельные вероятности состояний Если число состояний системы конечно и из каждого из них можно за конечное число шагов перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Рассмотрим математическое описание Марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере процесса, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния S i в S j происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями состояний λ ij (i , j =0,.1,2,3).

Так как переход системы из состояния S 0 в S 1 будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S 1 в S 0 – под воздействием потока и событий, связанных с окончанием ремонтов первого узла и т.д.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называтьразмеченным . Рассматриваемая система имеет четыре возможных состояния:S 0 ,S 1 ,S 2 ,S 3 . Назовем вероятностьюi -го состояния вероятностьp i (t ) того, что в моментt система будет находиться в состоянииS i . Очевидно, что для любого моментаt сумма вероятностей всех состояний равна единице:
.

Предельная вероятность состояния S i имеет – показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии(если предельная вероятность состояния S 0 , т.е. p 0 =0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S 0 ).

Для системыS с графом состояний, изображенном на рис. система линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим, имеет вид (также называется системойуравнений Колмогорова ):

(3)

Данная система может быть получена по размеченному графу состояний, руководствуясь правилом , согласнокоторому в левой части уравнений стоит предельная вероятность данного состояния p i , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выходящих из i -го состояния, равная сумме произведений интенсивности всех потоков, входящих из i -е состояние на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пример . Найти предельные вероятности для системы, граф состояний которого изображен на рис. выше. при λ 01 =1, λ 02 =2, λ 10 =2, λ 13 =2, λ 20 =3, λ 23 =1, λ 31 =3, λ 32 =2 .

Система алгебраических уравнений для этого случая согласно (3) имеет вид:

Решив линейную систему уравнений, получим p 0 = 0,4, p 1 = 0,2, p 2 = 0,27, p 3 = 0,13; т.е. в предельном стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии S 0 (оба узла исправны), 13% в состоянии S 1 (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии S 2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% в состоянии S 3 (оба узла ремонтируются).

Определим чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме рассмотренной системы S в условиях, что в единицу времени исправная работа узла один и узла два приносит доход соответственно 10 и 6 денежных единиц, а их ремонт требует соответственно затрат 4 и 2 денежных единицы. Оценим экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Для решения этой задачи с учетом полученных значений p 0 , p 1 , p 2 , p 3 определим долю времени исправной работы первого узла, т.е. p 0 + p 2 = 0,4+0,27 = 0,67 и долю времени исправной работы второго узла p 0 + p 1 = 0,4+0,2 = 0,6. В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени равную p 1 + p 3 = 0,2+0,13 = 0,33, а второй узел p 2 + p 3 = 0,27+0,13 = 0,40. Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы равен Д =0,67·10+0,6·6–0,33·4–0,4·2=8,18 ден.ед. уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого узла будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончания ремонтов» каждого узла, т.е. теперь λ 10 =4, λ 20 =6, λ 31 =6, λ 32 =4 и система уравнений, описывающая стационарный режим системы S , будет иметь вид:

.

Решив систему получим p 0 = 0,6, p 1 = 0,15, p 2 = 0,2, p 3 = 0,05. Учитывая, что p 0 + p 2 = 0,6+0,2 = 0,8,

p 0 + p 1 = 0,6+0,15 = 0,75, p 1 + p 3 = 0,15+0,05 = 0,2, p 2 + p 3 = 0,2+0,05 = 0,25, а затраты на ремонт первого и второго узла составляют соответственно 8 и 4 ден.ед., вычислим чистый средний доход в единицу времени: Д1 =0,8·10+0,75·6–0,2·8–0,25·4=9,99 ден.ед.

Так как Д1 больше Д (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонта узлов очевидна.

5. Процесс размножения и гибели Рассматриваемый в СМО процесс размножения и гибели характеризуется тем, что если все состояния системы пронумероватьS 1 ,S 2 ,… ,S n то из состоянияS k (k < n ) можно попасть либо в состояниеS k -1 , либо в состояниеS k +1 .

Для предельных вероятностей характерна следующая система уравнений:

(4)

к которой добавляется условие:

Из этой системы можно найти предельные вероятности. Получим:

, (6)

,
, …,
. (7)

Пример. Процесс гибели и размножения представлен графом. (рис).

Найти предельные вероятности состояний.

Решение. По формуле (6) найдем
,

по (7)
,
,

т.е. в установившемся стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находиться в состоянии S 0 , 17,6% – в состоянии S 1 и 11,8% – в состоянии S 2 .

6. Системы с отказами В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени,

Q – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

– вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

– среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

На практике при изучении операций часто приходится иметь дело с системами, предназначенными для многократного использования при решении однотипных задач. Процессы, которые возникают при этом получили название процессов обслуживания, а системы - систем массового обслуживания. Примерами таких систем являются ремонтные мастерские, телефонные системы, вычислительные комплексы, магазины и т.

Каждая система массового обслуживания состоит из определенного числа обслуживающих единиц, в том числе приборов, при-

нарядов, пунктов, станций, называют каналами обслуживания. Каналами могут выступать продавцы, парикмахеры, вычислительные машины, точки продаж, линии связи и др. По количеству каналов системы массового обслуживания делятся на одноканальные (один канал) и многоканальные (несколько каналов).

Заявки поступают в систему массового обслуживания обычно нерегулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок продолжается также какой-то случайный время. Случайный поток заявок и времени обслуживания приводит к тому, что система массового обслуживания оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени накапливается очень большое количество заявок, а в другие периоды система работает с неполной загрузкой или простаивает. Для того, чтобы максимально оптимизировать, регулировать эти процессы путем принятия взвешенных и обоснованных управленческих решений используется теория массового обслуживания.

Теория массового обслуживания - теория, которая изучает статистические закономерности в массовых операциях, состоящих из большого числа однородных элементарных операций. К ним, в частности, относятся: составление однотипных деталей на конвейере, выдача инструментов, ремонт станков, работа телефонной станции, обслуживание покупателей в магазине, в билетных кассах, клиентов в парикмахерских, техническое обслуживание машин и оборудования и др.

Синонимом теории обслуживания является теория очередей. В системах массового обслуживания, в которых заявки на элементарные операции поступают в случайные моменты времени или обслуживаются в течение случайных промежутков времени, появление очередей - неизбежное зло. При большом количестве каналов обслуживания (ремонтных бригад, продавцов, телефонисток и т. П.) Система терпит убытки из-за возможных длительные простои каналов. По малого количества каналов обслуживания, убытки системы вызывают очереди, которые накапливаются.

Задача теории массового обслуживания - изучить статистические закономерности входного потока заявок на элементарные операции и длительность обслуживания заявок, а также дать оценку качества систем обслуживания (выяснить пропускную способность) при различных правил формирования очередей. Очереди могут быть организованы по-разному - с ограниченной и неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и др.

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы систем массового обслуживания (число каналов, их производительность, характер потока, заявок и т.п.) с показателями эффективности этих систем, описывающих их способность справляться с потоком заявок.

Под потоком событий понимают последовательность однородных событий, следующих одна за другой в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов БВМ, поток покупателей и т.п.).

Поток характеризуется интенсивностью () - частотой появления события или средним числом событий, которые поступают в систему массового обслуживания за единицу времени.

В качестве показателей эффективности систем массового обслуживания могут использоваться следующие:

Среднее количество заявок в очереди;

Среднее время ожидания на обслуживание;

Вероятность отказа в обслуживании без ожидания;

Вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и тому подобное.

Системы массового обслуживания делятся на два основных типа (класса): с ожиданием (очередью) и с отказами. В системе массового обслуживания с ожиданием заявка, поступившая в момент занятости каналов, а не отправляется, а становится в очередь на обслуживание.

В системах с отказом заявка, поступающая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему, не принимая участия в дальнейшем процессе обслуживания (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает Систему обслуженных).

В качестве показателей эффективности системы массового обслуживания с отказами применяются следующие:

1. Абсолютная пропускная способность (А) - показатель, который показывает среднее количество заявок, обслуживаемых в единицу времени. Он рассчитывается по формуле

где - интенсивность потока заявок;

Интенсивность потока обслуживания.

При этом интенсивность потока обслуживания является обратной величиной к среднему времени обслуживания ():

2. Относительная пропускная способность (Q) - показатель, характеризующий среднюю долю заявок, которая поступила и обслуживается системой. Вычисляется по формуле

3. Вероятность отказа (Р от) - величина, характеризующая вероятность того, что заявка покинет систему массового обслуживания не обслужены. Показывает долю заявок, которым будет отказано в предоставлении соответствующей услуги.

4. Среднее число занятых каналов () (для многоканальной системы). Этот показатель рассчитывается следующим образом:

Определяется также интенсивность нагрузки канала - р (или приведена интенсивность потока заявок) - это показатель, который выражает среднее количество заявок, поступающей среднего обслуживании одной заявки. Он рассчитывается по формуле

В многоканальных системах массового обслуживания с предельными вероятностями используют формулы для предельных вероятностей состояния, которые получили название формул Эрланга в честь А.К. Эрланга (конец XIX - начало XX в.) - Датского инженера, математика, основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа системы массового обслуживания - это предельная вероятность того, что все п каналов системы будут заняты, то есть:

;

, ..., ...,.

Относительная пропускная способность - вероятность того, что заявка будет обслужена определяется:

.

Абсолютная пропускная способность рассчитывается:

Для классификации систем массового обслуживания важное значение имеет дисциплина обслуживания, определяет порядок выбора заявок из числа поступивших и порядок распределения их между свободными каналами. По этому признаку обслуживания заявки может быть организовано по принципу очередности поступления в порядке поступления (с начала) или наоборот обслуживаются те, которые поступили в конце (с конца), с приоритетом обслуживания (в первую очередь обслуживаются важнейшие заявки).

Пример. Заявки на телефонные переговоры на переговорном пункте поступают с интенсивностью, равной 80 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону.

1. Определить показатели эффективности работы системы массового обслуживания (переговорного пункта) при наличии одного телефонного номера.

2. Определить оптимальное количество телефонных номеров на переговорном пункте, если условием оптимальности считать

удовольствие в среднем из каждых 100 заявок не менее 80 заявок на переговоры.

1. Рассчитаем интенсивность потока обслуживания:

.

2. Определим относительную пропускную способность системы массового обслуживания:

.

Это означает, что в среднем только 20% заявок, поступающих будут удовлетворены за ними будут предоставлены услуги, то есть осуществятся переговоры по телефону.

3. Вероятность отказа в обслуживании () составит:

.

Итак, в среднем 80% заявок, которые поступят на переговоры, получат отказ в обслуживании.

4. Абсолютная пропускная способность системы массового обслуживания - переговорного пункта равно

.

Таким образом, в среднем за час будут обслужены 16 заявок на переговоры.

Из этого можно сделать вывод, что при наличии только одного телефонного номера переговорный пункт будет плохо справляться с потоком заявок.

Для выполнения второй задачи задачи - определение оптимального числа номеров на телефонной станции, следует прежде всего проанализировать интенсивность нагрузки канала.

5. Вычислим интенсивность нагрузки канала:

.

То есть, за время средней по продолжительности телефонного разговора поступает в среднем 4 заявки на переговоры.

6. Для получения характеристик системы (переговорного пункта) и выбора оптимального варианта количества номеров следует постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n = 2,3,4, ..., превращая таким образом имеющуюся систему массового обслуживания с одноканальной в многоканальную. Тогда относительная пропускная способность составит:

;

;

за;.

Абсолютная пропускная способность равна:

Аналогично рассчитаем основные характеристики системы массового обслуживания для 3, 4, 5, 6 каналов обслуживания (номеров телефонов) и сведем их в табл. 13.5.

Таблица 13.5. Основные характеристики обслуживания заявок на переговоры переговорным пунктом в зависимости от количества номеров

Итак, по условиям оптимальности Q 3 = 0,8, поэтому на переговорном пункте необходимо установить 3 телефонных номера (в этом случае Q = 0,80). Это означает, что за час будут обслуживаться в среднем 64 заявки (А = 64), а среднее число занятых номеров (каналов) равна

.

Несмотря на большое значение теории игр для принятия управленческих решений, она не имеет универсального характера. Одним из основных ограничений ее применения является то, что в этой игре имеется единственный показатель выигрыша как характеристика эффективности. Однако на практике при решении большинства экономических задач встречаются несколько показателей эффективности. Кроме того, в экономике в основном возникают такие ситуации, когда интересы партнеров не имеют антагонистического характера. Эти особенности следует учитывать аналитику при выборе методов исследования тех или иных экономических явлений и процессов.

4 – Основы теории массового обслуживания.

Определение 1. Пусть имеется некоторая физическая система S , которая с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем заранее неизвестным, случайным образом. Тогда мы будем говорить, что в системе S протекает случайный процесс.

Под «физической системой» можно понимать что угодно: техническое устройство, предприятие, живой организм и т.д.

Пример. S – техническое устройство, состоящее из ряда узлов, которые время от времени выходят из строя, заменяются или восстанавливаются. Процесс, протекающий в системе, – случайный. Вообще, если подумать, труднее привести пример «неслучайного» процесса, чем случайного. Даже процесс хода часов – классический пример точной, строго выверенной работы («работают как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка).

Определение 2. Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени t 0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t 0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пусть в настоящий момент t 0 система находится в определенном состоянии S 0 . Мы наблюдаем процесс со стороны и в момент t 0 знаем состояние системы S 0 и всю предысторию процесса, все, что было при t < t 0 . Нас, естественно. Интересует будущее: t > t 0 . Можем ли мы его предугадать? В точности – нет. Наш процесс случайный, следовательно – непредсказуемый. Но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем мы найти можем. Например, вероятность того, что через некоторое время t система S окажется в состоянии S 1 или сохранит состояние S 0 и т.д.

Если процесс марковский, то предсказывать можно, только учитывая настоящее состояние системы S 0 и забыв о его «предыстории» (поведение системы при t < t 0 ). Само состояние S 0 , разумеется, зависит от прошлого, но как только оно достигнуто, о прошлом можно забыть. Т.е. в марковском процессе «будущее зависит от прошлого только через настоящее» .

Пример. Система S – счетчик Гейгера, на который время от времени попадают космические частицы; состояние системы в момент времени t характеризуется показаниями счетчика – числом частиц, пришедших до данного момента. Пусть в момент t 0 счетчик показывает S 0 . Вероятность того, что в в момент t > t 0 счетчик покажет то или другое число частиц S 1 (или менее S 1 ) зависит от S 0 , но не зависит от того, в какие именно моменты приходили частицы до момента t 0 .

На практике часто встречаются процессы, которые если не в точности марковские, то могут быть в каком-то приближении рассмотрены как марковские. Например, S ­ – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Состояние системы характеризуется числом самолетов «красных» – x и «синих» – y , сохранившихся (не сбитых) к какому-то моменту. В момент t 0 нам известны численности сторон x 0 и y 0 . Нас интересует вероятность того, что в какой-то момент времени t 0 + t численный перевес будет на стороне «красных». От чего зависит эта вероятность? В первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент времени t 0 , а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента времени t 0 самолеты.

В сущности любой процесс можно рассматривать как марковский, если все параметры из «прошлого», от которых зависит «будущее», перенести в «настоящее». Например, пусть речь идет о работе какого-то технического устройства; в какой-то момент времени t 0 оно ещё исправно, и нас интересует вероятность того, что оно проработает ещё время t . Если за настоящее время считать просто «система исправна», то процесс безусловно не марковский, потому что вероятность, что она не откажет за время t , зависит, в общем случае, от того, сколько времени она уже проработала и когда был последний ремонт. Если оба эти параметра (общее время работы и время после ремонта) включить в настоящее состояние системы. То процесс можно будет считать марковским.

Определение 3. Процесс называется с дискретными состояниями, если его возможные состояния S 1 , S 2 ,... можно заранее перечислить (перенумеровать), и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.

Определение 4. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны, если переход может осуществиться, в принципе, в любой момент.

Мы будем рассматривать только процессы с дискретными состояниями.

Пример. Техническое устройство S состоит из двух узлов. Каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время.

Рис.4.1

Возможные состояния системы:

S 0 – оба узла исправны;

S 1 – первый узел ремонтируется, второй исправен;

S 2 – второй узел ремонтируется, первый исправен;

S 3 – оба узла ремонтируются.

Стрелка, направленная из S 0 в S 1 означает момент отказа первого узла и т. д. На рисунке нет стрелки из состояния S 0 в состояние S 3 , поскольку вероятность того, что два прибора откажут одновременно, стремится к нулю.

Определение 5. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток сбоев на ЭВМ, поток вызовов на телефонной станции).

Важнейшей характеристикой потока событий является его интенсивность l – среднее число событий, приходящееся на единицу времени. интенсивность потока может быть постоянной (l = const ), так и переменной, зависящей от времени. Например, поток автомашин, движущихся по улице, днем интенсивнее, чем ночью, а поток автомашин с 14-ти до 15-ти часов дня можно считать постоянным.

Определение 6. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные, равные промежутки времени.

Определение 7. Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность l стационарного потока должна быть постоянной. Это отнюдь не означает, что фактическое число событий, появляющееся в единицу времени, постоянно, – нет, поток неизбежно (если только он не регулярный) имеет какие-то случайные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера: на один участок длины 1 может попасть больше, а на другой – меньше событий, но среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Например, поток вызовов, поступающих на АТС между 13 и 14 часами. Практически стационарен, но тот же поток в течение суток уже не стационарен.

Определение 8. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени t 1 и t 2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. По сути это означает, что события, образующие поток, появляются в те или другие моменты независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами.

Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А вот поток покупателей, отходящих от прилавка с купленными товарами, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

Определение 9. Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами сразу.

Например поток клиентов к зубному врачу – обычно ординарный. Поток поездов, подходящих к станции – ординарен, а поток вагонов – неординарен.

Определение 10. Поток событий называется простейшим (или стационарным Пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия, а сам входной поток распределен по закону Пуассона ().

Для описания случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями S 1 , S 2 , ..., S n часто пользуются вероятностями состояний p 1 ( t ),..., p n ( t ) , где p k ( t ) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии S k . Вероятности p k ( t ) удовлетворяют условию: .

Если процесс, протекающий в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем является марковским, то для вероятностей состояний p 1 ( t ), ..., p n ( t ) можно составить систему линейных дифференциальных уравнений. При составлении этих уравнений удобно пользоваться графом состояний системы, на котором против каждой стрелки, ведущей из состояния в состояние, проставлена интенсивность потока событий, переводящего систему по стрелке (рис.4.2):

Рис.4.2 l ij – интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния S i в состояние S j . Правило создания системы линейных дифференциальный уравнений для нахождения вероятностей состояний. Для каждого состояния выписывается собственное уравнение. В левой части каждого уравнения стоит производная , а в правой – столько членов, сколько стрелок связано непосредственно с данным состоянием; если стрелка ведет в данное состояние, то член имеет знак «+», иначе - знак «–». Каждый член равен интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого стрелка выходит. Т.о. система линейных дифференциальных уравнений в нашем случае имеет вид:

Начальные условия для интегрирования такой системы отражают состояние системы в начальный момент времени. Если, например, система при t =0 была в состоянии S k , то . Эти уравнения можно решать аналитически, но это удобно только тогда, когда число уравнений не превышает двух (иногда трех). В случае, когда уравнений оказывается больше, применяют численные методы.

Что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут ли p 1 ( t ), ..., p n ( t ) стремиться к каким-то пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний: . p i – среднее относительное время пребывания системы в i -ом состоянии.

Как найти финальные вероятности? Поскольку все p i = const , то производные, стоящие в левой части каждого уравнения равны нулю. Т.о. мы получили систему линейных алгебраических уравнений. Поскольку ни одно уравнение в этой системе не имеет свободного члена, то система является вырожденной (т.е. все переменные будут выражены через одну). Чтобы этот избежать, необходимо воспользоваться нормировочным условием (), при этом любое уравнение можно отбросить.

Классификация систем массового обслуживания

По количеству обслуживающих приборов СМО делятся на одноканальные и многоканальные. Многоканальные СМО состоят из нескольких приборов, и каждый них может обслуживать заявку.

Также СМО подразделяются на системы без ожидания и с ожиданием. В первых заявка покидает очередь, если к моменту её прихода отсутствует хотя бы один канал, способный немедленно приступить к обслуживанию данной заявки. Вторые, в свою очередь, делятся на системы без ограничения и с ограничениями по длине очереди.

Также СМО делятся на системы с приоритетами и без них. В свою очередь системы с приоритетом делятся на СМО с прерыванием и без.

Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Рис.4.3

Найдем вероятности p k :

Для состояния S 0 : , отсюда ;

Для состояния S 1 n : , подставляем полученное значение для p 1 : . Аналогично, .

Вероятность p 0 найдем из нормировочного условия :

, – геометрическая прогрессия, при r <1 сходится. – вероятность того, что нет заявок.

– вероятность того, что прибор занят обслуживанием заявки. r = l / m – мера загрузки одноканальной СМО.

В текущий момент времени в системе может быть 0, 1, 2, ..., k , ... заявок с вероятностями p 0 , p 1 p 2 , ... Математическое ожидание количества заявок:

учитывая, что , получим:

Средняя длина очереди равна разности между средним числом заявок в системе и средним числом заявок, находящихся под обслуживанием: .

Формулы Литтла

Рис.4.4

Первая формула Литтла позволяет определить время реакции СМО (время пребывания заявки в системе).

Пусть X ( t ) – число заявок, поступивших в СМО до момента времени t , Y ( t ) – покинувших СМО до t . Обе функции случайны и увеличиваются скачком на единицу в моменты прихода и ухода заявок. Тогда число заявок в системе в момент времени t можно определить как: . Рассмотрим очень большой промежуток времени T и вычислим среднее число заявок в системе:

.

Интеграл равен площади ступенчатой фигуры, ограниченной функциями X ( t ) и Y ( t ) , эта сумма состоит из прямоугольников, ширина которых равна единице, а длина – времени пребывания i -ой заявки в системе. Сумма распространяется на все заявки, поступившие в систему за время T . Правую часть домножим и разделим на l : . T l – среднее количество заявок, пришедших за время T . Поделив сумму всех времен t i на среднее число заявок, получим среднее время пребывания заявки в системе: .

Совершенно аналогично можно получить среднее время пребывания заявки в очереди: .

Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Рис.4.5

Найдем вероятности p k :

Для состояния S 0 : ;

Для состояний S 1 – S n : ;

Для S n +1 : ; ...

Для S n+s-1 : ;

Для S n+s : .

Из первых n +1 уравнений получаем:

Из последнего уравнения выражаем: и подставляем в предпоследнее: , . Тогда .

Продолжая аналогию: .

Теперь найдем p 0 , подставив полученные выражения в нормировочное условие (): . Отсюда .

Показатели эффективности СМО

– Вероятность потери требования в СМО. Особенно часто ею пользуются при исследовании военных вопросов. Например, при оценке эффективности противовоздушной обороны объекта она характеризует вероятность прорыва воздушных целей к объекту. Применительно к СМО с потерями она равна вероятности занятости обслуживанием требований всех n приборов системы. Чаще всего эту вероятность обозначают p n или p отк .

– Вероятность того, что обслуживанием требований в системе занято k приборов, равна p k .

– Среднее число занятых приборов: характеризует степень загрузки обслуживающей системы.

– Среднее число свободных от обслуживания приборов:.

– Коэффициент простоя приборов: .

– Коэффициент занятости оборудования: .

– Средняя длина очереди: , p k - вероятность того, что в системе находится k требований.

– Среднее число заявок, находящихся в сфере обслуживания: .

– Вероятность того, что число заявок в очереди, ожидающих начала обслуживания, больше некоторого числа m : . Этот показатель особенно необходим при оценке возможностей размещения требований при ограниченности времени для ожидания.

Кроме перечисленных критериев при оценке эффективности СМО могут быть использованы стоимостные показатели:

q об – стоимость обслуживания каждого требования в системе;

q ож – стоимость потерь, связанных с простаиванием заявок в очереди в единицу времени;

q у – убытки, связанные с уходом из системы заявки;

q k – стоимость эксплуатации каждого прибора в единицу времени;

q k пр – стоимость простоя единицы времени k -го прибора системы.

При выборе оптимальных параметров СМО по экономическим показателям можно использовать функцию стоимости потерь в системе (для СМО с ожиданием): T – интервал времени.

Для СМО с отказами: .

Для смешанных: .

Критерий экономической эффективности СМО: , с – экономический эффект, получаемый при обслуживании каждой заявки.

СМО замкнутого типа

Пример. С1, С2, С3 – станки; НЦ – центральный накопитель; B – манипулятор. Транспортная тележка (манипулятор) транспортирует отработанную деталь от станка к накопителю и укладывает ее там, забирает новую деталь (заготовку), транспортирует ее к станку и устанавливает в рабочую позицию для зажима. Во время всего периода, необходимого для выгрузки–загрузки, станок простаивает. Время T з смены заготовки и есть время обслуживания.

Интенсивность обслуживания станков определяется как , – среднее время обслуживания станка, которое вычисляется как , где n – число заявок. Интенсивность подачи станком заявки на обслуживание определяется как (где – среднеее время обработки детали станком).

Станочная система с однозахватным манипулятором представляет собой СМО с ожиданием с внутренней организацией FIFO : каждая заявка станка на обслуживание удовлетворяется, в случае когда манипулятор занят, заявка становится в очередь и станок ожидает когда манипулятор освободится. Данный процесс марковский, т.е. случайная выдача заявки на обслуживание в определенный момент времени t 0 не зависит от предыдущих заявок, т.е. от течения процесса в предшествующий период. Продолжительность исполнения заявки может быть различной и является случайной величиной, не зависящей от числа поданных заявок. Весь процесс не зависит от того, что произошло ранее момента времени t 0 .

В станочной системе число заявок на обслуживание может быть равно 0, 1, 2, ... m , где m – общее число станков. Тогда возможны следующие состояния:

S 0 – все станки работают, манипулятор стоит.

S 1 – все станки, кроме одного, работают, манипулятор обслуживает станок, от которого поступила заявка на смену заготовок.

S 2 – работают m -2 станка, на одном станке идет смена заготовки, другой ожидает.

S 3 – работают m -2 станка, один станок обслуживается манипулятором, два станка ожидают в очереди.

S m – все станки стоят, один обслуживается манипулятором, остальные ожидают очереди исполнения заказа.

Рис.4.6.

Вероятность перехода в состояние S k из одного из возможных состояний S 1 , S 2 , ... S m зависит от случайного поступления заявок на обслуживание и вычисляется как:

p 0 – вероятность того, что все станки работают.

Манипулятор работает при состояниях системы от S 1 до S m ­ . Тогда вероятность его загрузки равна: .

Число станков, находящихся в очереди связано с состояниями S 2 , – S m , при этом один станок обслуживается, а (k -1) – ожидают. Тогда, среднее число станков в очереди: .

Коэффициент простоя одного станка (из-за ожидания при многостаночном обслуживании): .

Среднее использование одного станка:

Применение метода Монте-Карло для решения задач,

связанных с теорией массового обслуживания

Для того, чтобы описать поток однородных событий, достаточно знать закон распределения моментов времени t 1 , t 2 , ..., t k , ..., в которые поступают события.

Для удобства дальнейших рассмотрений целесообразно от величин t 1 , t 2 , ..., перейти к случайным величинам z 1 , z 2 , ..., z m , ... , таким образом, что:

Случайные величины z k являются длинами интервалов времени между последовательными моментами t k .

Совокупность случайных величин z i считается заданной, если определена совместная функция распределения: . Обычно рассматриваются только непрерывные случайные величины z k , поэтому часто пользуются соответствующей функцией плотности f ( z 1 , z 2 ,..., z k ) .

Обычно в теории СМО рассматриваются потоки однородных событий без последействия, для которых случайные величины z k независимы. Поэтому . Функции f i ( z i ) при i >1 представляют собой условные функции плотности при условии, что в начальный момент интервала z k ( i >1) поступила заявка. В отличие от этого функция f 1 ( z 1 ) является безусловной функцией плотности, т.к. относительно появления или непоявления заявки в начальный момент времени не делается никаких предположений.

Широкое применение имеют так называемые стационарные потоки, для которых вероятностный режим их во времени не изменяется (т.е. вероятность появления k заявок за промежуток времени (t 0 , t 0 + t ) не зависит от t 0 , а зависит только от t и k ). Для стационарных потоков без последействия имеют место соотношения:

где l – плотность стационарного потока.

Поступившая в систему заявка может занимать только свободные линии. Относительно порядка занятия линий могут быть сделаны различные предположения:

а) линии занимаются в порядке их номеров. Линия с большим номером не может быть привлечена к обслуживанию заявки, если имеется свободная линии с меньшим номером;

б) линии занимаются в порядке очереди. Освободившаяся линия поступает в очередь и не начинает обслуживания заявок до израсходования всех ранее освободившихся линий;

в) линии занимаются в случайном порядке в соответствии с заданными вероятностями. Если в момент поступления очередной заявки имеется n св свободных линий, то в простейшем случае вероятность занять некоторую определенную линию может быть принята равной . В более сложных случаях вероятности считаются зависящими от номеров линий, моментов их освобождения и других параметров.

Аналогичные предположения можно сделать и относительно порядка принятия заявок к обслуживанию в том случае, когда в системе образуется очередь заявок:

а) заявки принимаются к обслуживанию в порядке очереди. Освободившаяся линия приступает к обслуживанию той заявки, которая ранее другой поступила в систему;

б) заявки принимаются к обслуживанию по минимальному времени получения отказа. Освободившаяся линия приступает к обслуживанию той заявки, которая в кратчайшее время может получить отказ;

в) заявки принимаются к обслуживанию в случайном порядке в соответствии с заданными вероятностями. Если в момент освобождения линии имеется m заявок в очереди, то в простейшем случае вероятность выбрать для обслуживания некоторую определенную заявку может быть принята равной q =1/ m . В более сложных случаях вероятности q 1 , q 2 ,..., q m считаются зависящими от времени пребывания заявки в системе, времени, остающегося до получения отказа и других параметров.

· Для решения ряда прикладных задач оказывается необходимым учитывать такой важный фактор, как надежность элементов обслуживающей системы. Будем предполагать, что с точки зрения надежности каждая линия в данный момент времени может быть либо исправной, либо неисправной. Надежность линии определяется вероятностью безотказной работы R = R ( t ) , задаваемой как функция времени. Будем также предполагать, что линия, вышедшая из строя по причине неполной надежности, может быть введена в строй (отремонтирована), для чего требуется затратить время t p . Величину t p будем считать случайной величиной с заданным законом распределения.

Относительно судьбы заявки, при обслуживании которой линия выходит из строя, могут быть сделаны различные предположения: заявка получает отказ; заявка остается в системе (с общим временем пребывания в системе не более t n ) как претендент на обслуживание вне очереди; заявка поступает в очередь и обслуживается на общих основаниях и т.д.

Сущность метода статистических испытаний применительно к задачам массового обслуживания состоит в следующем. Строятся алгоритмы, при помощи которых можно вырабатывать случайные реализации заданных потоков однородных событий, а также «моделировать» процессы функционирования обслуживающих систем. Эти алгоритмы используются для многократного воспроизведения реализаций случайного процесса обслуживания при фиксированных условиях задачи. Получаемая при этом информация о состояниях процесса подвергается статистической обработке с целью оценки, являющихся показателями качества обслуживания.

Метод статистических испытаний позволяет более полно, по сравнению с асимптотическими формулами, исследовать зависимость качества обслуживания от характеристик потока заявок и параметров обслуживающей системы.

Это достигается благодаря двум обстоятельствам. Во-первых, при решении задач теории массового обслуживания методом статистических испытаний может быть использована более обширная информация о процессе, чем это обычно удается сделать, применяя аналитические методы.

С другой стороны, значения показателей качества обслуживания, получаемые из асимптотических формул, строго говоря, относятся к моментам времени, достаточно удаленным от начала процесса. Реально, для моментов времени, близких к началу процесса, когда еще не наступил стационарный режим, значения показателей качества обслуживания в общем случае существенно отличаются от асимптотических значений. Метод статистических испытаний позволяет достаточно обстоятельно изучать переходные режимы.

Для многих прикладных задач предположения, при которых справедливы аналитические формулы, оказываются слишком стеснительными. При решении задач методом статистических испытаний некоторые предположения могут быть существенно ослаблены.

В первую очередь это относится к многофазному обслуживанию (т.е. рассматриваются обслуживающие системы, состоящие из нескольких последовательно действующих в общем случае неоднотипных агрегатов).

Другим важным обобщением задачи является предположение о характере потока заявок, поступающих на обслуживание. Допускается рассмотрение потоков однородных событий с практически произвольным законом распределения. Последнее обстоятельство оказывается существенным по следующим двум причинам. Во-первых, реальные потоки заявок в некоторых случаях заметно отличаются от простейшего. Для пояснения второй причины предположим, что исходный поток заявок достаточно точно аппроксимируется простейшим потоком. При этом поток заявок, обслуженных на первой фазе, уже, строго говоря не будет простейшим. Поскольку поток, являющийся выходным для первой фазы, будет входным потоком для агрегата, обслуживающего заявки на второй фазе, мы снова приходим к задаче обслуживания потоков, не являющимися простейшими.

· Структура алгоритма, моделирующего

процесс обслуживания заявок

Рассмотрим однофазную СМО, имеющую n линий, на которые поступают заявки в случайные моменты времени t i . Если вмомент поступления заявки оказываются в наличии свободные линии (их число n св ), заявка занимает одну из них на время t p . В противном случае заявка находится в системе до момента t n , ожидая обслудивания. В т t чение времени ожидания некоторые линии могут освободиться (их число m ), и в этом случае будет возможность обслужить заявку. Если до момента времени t n ни одна из линий не освобождается (m =0 ), заявка получает отказ.

Будем считать, что в силу недостаточно высокой надежности системы, линии обслуживающие заявку, могут выходить из строя, тогда заявка получает отказ, а линия может быть отремонтирована и через промежуток времнеи t pem введена в строй.

Для исследования качества обслуживания заявок предусматривается N * кратное моделирование процесса функционирования системы в интервале (0, T ) . В процессе моделирования число обследованных реализаций обозначим через N .

Алгоритм:

1. Определяется момент t i поступления очередной заявки в систему.

2. Если t i < T , то переход на шаг 3, иначе – на шаг 11.

3. Проверка возможности обслужить поступившую заявку: если n св >0 , то переход на шаг 4, иначе – на шаг 12. (Значение времени поступления заявки t i сравнивается с t осв для всех линий, т.о. выявляются свободные линии.)

4.Если n св >1 , то переход на шаг 5, иначе – на шаг 6.

5. Выбирается номер свободной линии по специальным правилам.

6. Назначается выбранная линия.

7. Проверка: имеет ли место срыв обслуживания по причине недостаточной надежности? Если да, то переход на шаг 8, иначе – на шаг 10.

8. Определение времени t рем ремонта линии, вышедшей из строя (t рем имеет определенный закон распределения).

9. N отк = N отк +1 . Переход на шаг 1.

10. Определение времени занятости t з линии, которая назначена обслуживать заявку (некая случайная величина с определенным законом распределения) и времени освобождения линии: t осв = t i + t з . Переход к очередной заявке (шаг 1).

11. Проверка: если N < N * , то N = N +1 и переход на шаг 1, иначе – обработка результатов опыта и конец.

12. Определить:

А) времени t n пребывания заявки в системе;

Б) число освободившихся каналов m за время t n .

13. Если m >0 , то переход на шаг 14, иначе – на шаг 9.

14. Если m >1 , то переход на шаг 15, иначе – на шаг 6.

15. Выбирается определенная линия в соответствии с принятыми правилами и переход на шаг 6.

(Теория очередей)

1. Элементы теории массового обслуживания

Многие экономические организации и системы, получающие прибыль за счет обслуживания клиентов, можно достаточно точно описать с помощью совокупности математических методов и моделей, которые получили название теории массового обслуживания (ТМО). Рассмотрим основные аспекты ТМО.

1.1 Компоненты и классификация моделей массового обслуживания

Системы массового обслуживания (СМО)- это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его об служиванию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

· магазины;

· ремонтные мастерские;

· почтовые отделения;

· посты технического обслуживания автомобилей, посты ремонта автомобилей;

· персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;

· аудиторские фирмы;

· отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;

· телефонные станции и т.д.

Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:

· входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;

· дисциплина очереди;

· механизм обслуживания.

Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

Дисциплина очереди - это важный компонент системы массово го обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

Первым пришел - первый обслуживаешься;

Пришел последним - обслуживаешься первым;

Случайный отбор заявок;

Отбор заявок по критерию приоритетности;

Ограничение времени ожидания момента наступления обслужи вания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая дли на очереди»).

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслу живания оперируют понятием «вероятностное распределение вре мени обслуживания требований».

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверж дать, что имеет место параллельное обслуживание.

Система обслуживания может состоять из нескольких разно типных каналов обслуживания, через которые должно пройти каж дое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

· вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);

· вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;

· конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);

· количеством и производительностью обслуживающих каналов;

· дисциплиной очереди;

· мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

· вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;

· вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

· относительная и абсолютная пропускная способность системы;

· средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

· среднее время ожидания в очереди;

· средняя длина очереди;

· средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе мас сового обслуживания, различают два основных вида СМО:

Системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;

Системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:

Длина очереди;

Время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.

Все системы массового обслуживания различают по числу каналов обслуживания:

Одноканальные системы;

Многоканальные системы.

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

Определим характеристики систем массового обслуживания.

1.2. Одноканальная СМО с отказами

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид где λ - интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени).

Плотность распределения длительностей обслуживания:

где – интенсивность обслуживания, tоб – среднее время обслуживания одного клиента.

Пусть система работает с отказами. Можно определить абсолютную и относительную пропускную способность системы. Относительная пропускная способность равна доли обслуженных заявок относительно всех поступающих и вычисляется по формуле: . Эта величина равна вероятности Р0 того, что канал обслуживания свободен.

Абсолютная пропускная способность (А) - среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени: Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал обслуживания занят»:

Данная величина Ротк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

Пример. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей λ 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - tоб=1,8 часа.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

a) относительной пропускной способности q;

b) абсолютной пропускной способности А;

c) вероятности отказа Ротк;

Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Определим интенсивность потока обслуживания: Вычислим относительную пропускную способность: Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост автомобилей.

Абсолютную пропускную способность определим по формуле: А=λ×q=1×0,356=0,356.

Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.

Вероятность отказа:

Ротк=1-q=1-0,356=0,644.

Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.

Определим номинальную пропускную способность системы:

Аном= (автомобилей в час). Оказывается, что Аном в раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

1.3 . Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание поток имеет интенсивность λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Рассмотрим систему с ограниченной очередью. Предположим, что независимо оттого, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N-1) ожидают, Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте и такие заявки теряются. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Обозначим Рn - вероятность того, что в системе находится n заявок. Эта величина вычисляется по формуле:

Здесь - приведенная интенсивность потока. Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна: .

С учетом этого можно обозначить

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):

· вероятность отказа в обслуживании заявки: Pотк=РN=

· относительная пропускная способность системы:

· абсолютная пропускная способность:

среднее число находящихся в системе заявок:

среднее время пребывания заявки в системе:

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

Пример. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3, то есть (N- 1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность λ=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Интенсивность потока обслуживаний автомобилей:

Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей λ и μ, т.е.

Вычислим вероятности нахождения п заявок в системе:

P1=r∙P0=0,893∙0,248=0,221;

P2=r2∙P0=0,8932∙0,248=0,198;

P3=r3∙P0=0,8933∙0,248=0,177;

P4=r4∙P0=0,8934∙0,248=0,158.

Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

Pотк=Р4=r4∙P0≈0,158.

Относительная пропускная способность поста диагностики:

q=1–Pотк=1-0,158=0,842.

Абсолютная пропускная способность поста диагностики

А=λ∙q=0,85∙0,842=0,716 (автомобиля в час).

Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

Среднее время пребывания автомобиля в системе:

Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

Wq=Ws-1/μ=2,473-1/0,952=1,423 часа.

Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

Lq=λ∙(1-PN)∙Wq=0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обнаруживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Ротк=0,158).

1.4. Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью

Перейдем теперь к рассмотрению одноканальной СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т.е. Ν → ∞). Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.

Устойчивое решение в такой системе существует только тогда, когда λ<μ, то есть заявки должны обслуживаться с большей скоростью, чем поступают, в противном случае очередь может разрастись до бесконечности.

Вероятность того, что в системе находится п заявок, вычисляется по формуле

Pn=(1-r)rn, n=0,1,2,…,

где r = λ/μ <1.

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:

среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:

средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

среднее число клиентов в очереди на обслуживание:

средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

Пример. Вспомнив о ситуации, рассмотренной в предыдущем примере, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т.е. длина очереди не ограничена.

Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:

вероятности состояний системы (поста диагностики);

среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);

среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе

(на обслуживании и в очереди);

среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Решение. Параметр потока обслуживания и приведенная интенсивность потока автомобилей ρ определены в предыдущем примере:

μ=0,952; ρ=0,893.

Вычислим предельные вероятности системы по формулам

P0=1-r=1-0,893=0,107;

P1=(1-r)·r=(1-0,893)·0,893=0,096;

P2=(1-r)·r2=(1-0,893)·0,8932=0,085;

P3=(1-r)·r3=(1-0,893)·0,8933=0,076;

P4=(1-r)·r4=(1-0,893)·0,8934=0,068;

P5=(1-r)·r5=(1-0,893)·0,8935=0,061 и т.д.

Следует отметить, что Р0 определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10, 7%, так как Р0=0,107.

Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):

ед.

Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:

Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:

Относительная пропускаемая способность системы равна единицы, так как все поступившие заявки рано или поздно будут обслужены:

Абсолютная пропускная способность:

A=λ∙q=0,85∙1=0,85.

Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятие ограничения на длину очереди.

Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывших автомобилей как в предыдущем примере было равно трем. Частота m возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностике автомобиль не имеет возможности присоединить к очереди:

В нашем примере при N=3+1=4 и r=0,893,

m=λ∙P0∙ r4=0,85∙0,248∙0,8934=0,134 автомобиля в час.

При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12∙0,134=1,6 автомобиля.

Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуживающих клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) пост диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобиля, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличие всего трех мест для стоянки этих автомобилей.

1.5. Многоканальная СМО с отказами

В подавляющем большинстве случаев на практике система массового обслуживания является многоканальными, то есть параллельно могут обслуживаться несколько заявок, и, следовательно, модели с обслуживающими каналами (где число каналов обслуживания n>1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока λ, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/μ. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, при чем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, починенной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышение (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.

Стационарное решение системы имеет вид:

,где ,

Формулы для вычисления вероятностей называются формулами Эрланга.

Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

вероятность отказа:

ак как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все каналов заняты. Величина Ротк характеризует полноту обслуживания входящего потока;

вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же – относительная пропускная способность системы) дополняет Ротк до единицы:

абсолютная пропускная способность

среднее число каналов, занятых обслуживанием () следующее:

Величина характеризует степень загрузки СМО.

Пример. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n=3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность λ=1 задача в час. Средняя продолжительность обслуживания tоб=1,8 час.

Требуется вычислить значения:

Вероятности числа занятых каналов ВЦ;

Вероятности отказа в обслуживании заявки;

Относительной пропускной способности ВЦ;

Абсолютной пропускной способности ВЦ;

Среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.

Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

Определим параметр μ потока обслуживаний:

Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга:

Вероятность отказа в обслуживании заявки

Относительная пропускная способность ВЦ

Абсолютная пропускная способность ВЦ:

Среднее число занятых каналов – ПЭВМ

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех – остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (Р3= 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных λ и μ можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число не обслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу вероятности отказа:

Составим следующую таблицу:

n
P0	0,357	0,226	0,186	0,172	0,167
Pотк	0,673	0,367	0,18	0,075	0,026

Анализируя данные таблицы, следует отметить, что расширение числа каналов ВЦ при данных значениях λ и μ до 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при n = 6 вероятность отказа в обслуживании (Ротк) составляет 0,0078.

6.6. Многоканальная СМО с ожиданием

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки имеют интенсивности λ и μ соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна .

Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна: ,где

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:

Остальные вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяется по следующим формулам:

среднее число клиентов в очереди на обслуживание

;

среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди

средняя продолжительность пребывания клиента в системе

Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Пример. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность λ=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно tоб=0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:

Вероятность состояний системы;

Среднее число заявок в очереди на обслуживание;

Среднее число находящихся в системе заявок;

Среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

Среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Определим параметр потока обслуживаний

Приведенная интенсивность потока заявок

ρ=λ/μ=2,5/2,0=1,25,

при этом λ/μ ∙с=2,5/2∙3=0,41<1.

Поскольку λ/μ∙с<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

Вычислим вероятности состояний системы:

Вероятность отсутствия очереди у мастерской

Ротк≈Р0+Р1+Р2+Р3≈0,279+0,394+0,218+0,091=0,937.

Среднее число заявок в очереди на обслуживание Среднее число находящихся в системе заявок

Ls=Lq+ =0,111+1,25=1,361.

Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание суток

Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)

суток.

---