В статье рассмотрим решение неравенств . Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств , на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Неравенства, содержащие знак > или или - нестрогими.
Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство " означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств . Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
-+
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x . График множества решений изображён ниже.

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и , или , тогда формируется двойное неравенство . Двойное неравенство, как
-3 и 2x + 5 ≤ 7
называется соединённым , потому что в нём использовано и . Запись -3 Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2 Решите -3 Решение У нас есть

Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, и y 3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y 1 ≤ y 2 или y 1 > y 3 .

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x| |x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

Например,
|x| |y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Решение
a) |3x + 2|

Множеством решением есть {x|-7/3

b) |5 - 2x| ≥ 1
Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] . В следующем примере такая скобка используется.

Запишем ответ: х ≥ -0,5 через промежутки:

х ∈ [-0,5; +∞)

Читается: икс принадлежит промежутку от минус 0,5, включая, до плюс бесконечности.

Бесконечность не может включаться никогда. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой.

Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков. Но - именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства. Мы с этим в соответствующих темах разберёмся.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Урок и презентация на тему: "Примеры линейных неравенств и их решение"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Образовательный комплекс 1C: "Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы" Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Линейные уравнения (повторение)

Ребята, мы переходим к изучению курса алгебры за 9 класс. Во время изучения нашего курса мы научимся решать много новых увлекательных задач.

Давайте немного повторим.
Вы помните, что такое линейное уравнение?
Мы называем уравнение вида $ax+b=0$ - линейным, здесь коэффициенты а и b из множества действительных чисел, то есть практически любое число. Кстати, а почему оно называется линейным? Правильно, если нарисуем график решения нашего уравнения, то получается линия.

Как мы решали наше уравнение? То, что с х, мы оставляли слева от знака равно, а без х переносили на право, не забывая менять знак, то есть получали уравнение вида: $ax=-b$.
После делили на коэффициент при х и получали решение уравнения: $x=-\frac{b}{a}$.
Ну что же, давайте перейдем к первой теме нашего курса.

Мы с вами вспомнили линейные уравнения, теперь давайте введем понятие линейного неравенства. Думаю вы догадались, что определения не будут сильно отличаться.
Линейным неравенством с одной переменной называют неравенства вот такого вида: $ax+b>0$, где а и b значения из множества действительных чисел $(a≠0)$. Вообще можно записать 4 вида неравенств :
$ax+b>0\\ ax+b
Значения переменной x, при котором наше неравенство становится верно - называется решением. Стоит заметить, что существует два вида решений: частное и общее. Общим решением называют все множество частных решений.

Давайте введем несколько правил при решении линейных неравенств:
Члены неравенства можно так же, как и в линейных уравнениях переносить из одно части в другую, не меняя знак неравенства.
Неравенство $3х
Неравенство можно умножить и разделить на одно и тоже число большее нуля, не изменив при этом знак неравенства. Ребята, не забывайте что обязательно надо умножать или делить обе части неравенства!
Неравенство $3x
Неравенство можно умножить или разделить на отрицательное число, не забыв при этом изменить знак неравенства на противоположный. Знак, ≤ на≥, и соответственно наоборот.
Умножим неравенство $3x-7 0$.

Если неравенство от переменой x разделить или умножить на выражение $p(x)$, зависящее от х, и которое положительно при любом х, не изменив знак неравенства, то получится неравенство, равносильное изначальному.

Если неравенство от переменой x разделить или умножить на выражение $p(x)$, зависящее от х, b которое отрицательно при любом х, поменяв знак неравенства, то получится неравенство, равносильное изначальному.

1. Решить неравенство: $3x-6
Решение:
Способ решения аналогичен линейным уравнениям, перенесем -6 направо от знака неравенства $3x Мы можем разделить наше неравенство на любое положительное число, не меняя знака. Давайте раздели на 3 и получим решение: $x Ответ: $x
2. Решить неравенство: $-3x+6
Решение:
Выполним начальные действия: $-3x Разделим неравенство на -3, не забыв изменить знак: $x>2$.
Ответ: $x>2$.

3. Решить неравенство: $\frac{x}{4}+\frac{(3x-2)}{8}>x-\frac{1}{16}$.

Решение:
Умножим наше неравенство на 16, получаем: $4x+2(3x-2)>16x-1$.
Выполним необходимые действия: $4x+6x-4-16x>-1$.
$-6x>3$.
Разделим неравенство на -6, поменяв его знак: $x Ответ: $x
4. Решить неравенство: $|2x-2|
Решение:
Разделим неравенство на 2. Получим: $|x-1| Решением нашего неравенство можно представить в виде отрезка координатной прямой. Середина отрезка будет находиться в точке $x=1$, а границы удалены на 2.
Нарисуем наш отрезок:
Открытый интервал $(-1;3)$ – решение нашего неравенства.

Задачи на линейные неравенства

1. Решить неравенство:
a) $2x+5 b) $-4x-9>11.$
c) $-5x+10
2. Решить неравенство: $\frac{2x}{9}+\frac{2x-4}{3}≤x-\frac{1}{18}$.

3. Решить неравенство:
$a) |3x-5| b) $|5x|

Например, неравенством является выражение $x>5$.

Виды неравенств:

Если $a$ и $b$ – это числа или , то неравенство называется числовым . Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные .

Например:
$-5<2$ - верное числовое неравенство, ведь $-5$ действительно меньше $2$;

$17+3\geq 115$ - неверное числовое неравенство, так как $17+3=20$, а $20$ меньше $115$ (а не больше или равно).

Если же $a$ и $b$ – это выражения, содержащие переменную, то у нас неравенство с переменной . Такие неравенства разделяют по типам в зависимости от содержимого:

$2x+1\geq4(5-x)$				Переменная только в первой степени
$3x^2-x+5>0$				Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)
$\log_{4}{(x+1)}<3$
$2^{x}\leq8^{5x-2}$

... и так далее.

Что такое решение неравенства?

Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.

Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется решением неравенства . Если же нет - то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).

Например, если мы в линейное неравенство $x+6>10$, подставим вместо икса число $7$ –получим верное числовое неравенство: $13>10$. А если подставим $2$, будет неверное числовое неравенство $8>10$. То есть $7$ – это решение исходного неравенства, а $2$ – нет.

Однако, неравенство $x+6>10$ имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и $5$, и $12$, и $138$... И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют Для нашего случая имеем:

$x+6>10$ $|-6$
$x>4$

То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:

Ответ: $x\in(4;+\infty)$

Когда в неравенстве меняется знак?

В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:

При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)

Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства $3>1$. Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:

$3>1$ $|\cdot2$
$6>2$

Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:

$3>1$ $|\cdot(-3)$
$-9>-3$

Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: $−9<− 3$.
С делением получится аналогично, можете проверить сами.

Записанное выше правило распространяется на все виды неравенств, а не только на числовые.

Пример: Решить неравенство $2(x+1)-1<7+8x$
Решение:


$2x+2-1<7+8x$	Перенесем $8x$ влево, а $2$ и $-1$ вправо, не забывая при этом менять знаки
$2x-8x<7-2+1$
$-6x<6$ $\|:(-6)$	Поделим обе части неравенства на $-6$, не забыв поменять с «меньше» на «больше»
	Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство , поэтому само значение $-1$ «выкалываем» и в ответ не берем
	Запишем ответ в виде интервала

Ответ: $x\in(-1;\infty)$

Неравенства и ОДЗ

Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на , то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.

Пример: Решить неравенство $\sqrt{x+1}<3$

Решение: Понятно, что для того чтоб левая часть была меньше $3$, подкоренное выражение должно быть меньше $9$ (ведь из $9$ как раз $3$). Получаем:

$x+1<9$ $|-1$
$x<8$

Все? Нам подойдет любое значение икса меньшее $8$? Нет! Потому что если мы возьмем, например, вроде бы подходящее под требование значение $-5$ – оно решением исходного неравенства не будет, так как приведет нас к вычислению корня из отрицательного числа.

$\sqrt{-5+1}<3$
$\sqrt{-4}<3$

Поэтому мы должны еще учесть ограничения на значения икса – он не может быть таким, чтоб под корнем было отрицательное число. Таким образом, имеем второе требование на икс:

$x+1\geq0$
$x\geq-1$

И чтобы икс был окончательным решением, он должен удовлетворять сразу обоим требованиям: он должен быть меньше $8$ (чтобы быть решением) и больше $-1$ (чтобы быть допустимым в принципе). Нанося на числовую ось, имеем окончательный ответ:

Ответ: $\left[-1;8\right)$

Все камни

Мясо с картошкой в фольге в духовке порционно рецепт с фото Мясо запеченное в фольге с картошкой

Талисманы и обереги

Для того, чтобы приготовить рыбу в кляре вы должны взять такие продукты

Все камни

Атомный проект ссср: создание ядерного щита (фото) Собственный проект атомной бомбы ссср

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Переменная только в первой степени
\(3x^2-x+5>0\)				Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)
\(\log_{4}{(x+1)}<3\)
\(2^{x}\leq8^{5x-2}\)


\(2x+2-1<7+8x\)	Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(\|:(-6)\)	Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять с «меньше» на «больше»
	Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство , поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем
	Запишем ответ в виде интервала

Талисманы, обереги. Камни и минералы. Камни по знакам зодиака

Линейные неравенства. Неравенства. Виды неравенств